十八角形（18-gon とも呼ばれる）は、18本の辺と18個の頂点をもつ多角形である。一般には、単純なものにも自己交差するものにもなりうるが、もっともよく研究されるのは正十八角形で、これはすべての辺と内角が等しい。正十八角形では、円が18個の等しい中心角、各20°に分割される。

性質

正十八角形には、n角形の公式から導かれる基本的な計量的・対称的性質がいくつかある。各内角は160°で、外角（中心角）は20°である。その完全な二面体対称群は D18 で、位数は36、回転と反射を含む。

  • 内角: (n-2)·180°/n = n=18 のとき 160°。
  • 中心角: 360°/18 = 20°。
  • 面積（正多角形）: A = (n/4)s^2 cot(π/n) = (9/2)s^2 cot(10°)。ここで s は辺の長さ。
  • 別の面積表示: A = (1/2)nR^2 sin(2π/n) = 9R^2 sin(20°)。ここで R は外接円半径。

また、{18/5}、{18/7} などのシュレーフリ記号で表される古典的な星形多角形もある。これは、正18角形の頂点を k 個おきに結んで作られ、独自の対称性をもつさまざまな交差図形を生み出す。

作図と歴史

多角形の幾何学は古典数学者によって研究されてきており、その名称は「18の角」を意味するギリシャ語の語根に由来する。正十八角形は定規とコンパスだけでは作図できない。18 は 2·3^2 に分解され、奇素数因子の平方を含むためである。ガウス＝ワンツェルの判定条件では、奇素数因子は互いに異なるフェルマー素数であることが必要とされる。実際には、近似作図や三等分、あるいは補助具を用いることで、正確な18角形を作ることができる。

実用面では、十八角形は装飾デザイン、敷き詰め模様の実験、そして対称性や多角形分解の理論的な例として現れる。辺の数がほどよいため、初等幾何で多角形の公式や、辺の長さ・半径・面積の関係を説明するのに役立つ。