八角形は8本の辺と8つの頂点をもつ多角形です。幾何学では、凸八角形と凹八角形の両方を指しますが、一般的な説明では、すべての辺と内角が等しい正八角形が中心になります。簡潔な参照として、八角形の項目をご覧ください。

主な特徴

重要な数値的・構造的性質には次のものがあります。

  • 内角の和: (8−2)×180° = 1080°。
  • 正八角形の各内角は135°、各外角は45°です。
  • 対角線の本数: 八角形の対角線は合計で 8(8−3)/2 = 20 本です。
  • 対称性: 正八角形は二面体対称 D8 をもち、その位数は16（8回の回転と8回の鏡映）です。

公式と作図

一辺の長さを a とする正八角形の面積は A = 2(1+√2) a² です。正八角形は、正方形の角を切り落として作る方法や、円周上に等間隔の8点を配置する方法で作図できます（円に内接する多角形です）。コンパスと定規を用いる実用的な作図は、古典幾何学で標準的です。

歴史と文化的利用

名称はギリシャ語の語根に由来し、octa- は「8」、-gon は「角」を意味します。八角形の形は、建築（塔、洗礼堂、パビリオン）や装飾芸術に多くの文化で見られます。正方形の平面と円形の平面のあいだを、見た目よくつなぐ形として用いられるためです。八角形は標識でも広く認識されており、多くの国の赤い停止標識は、視認性と記号的な認識の高さから正八角形を採用しています。

用途と例

標識や建築以外にも、八角形は敷き詰め模様、エンブレムのデザイン、ゲーム盤、そして持ちやすさを目的とした一部の硬貨の形に使われます。数学やコンピュータグラフィックスでは、対称性、敷き詰め、円の多角形近似を学ぶための例としても用いられます。

区別と関連形状

八角形には凸形と凹形があり、凹八角形では少なくとも1つの内角が180°を超えます。オクタグラムは八角形に関連する星形多角形で、頂点を交互につないで作られます。八角形（2次元）と、8つの三角形の面をもつ正多面体である八面体は混同しないでください。

さらに幾何学的な詳細や図版については、リンク先の八角形の資料を参照してください。