順序対：定義、性質、集合論的符号化と応用

定義と性質

順序対の第1成分と第2成分は区別される。射影写像によってこれらを取り出すことができ、第1射影は π1(a, b) = a、第2射影は π2(a, b) = b である。対を作る操作は単射的であり、異なる対は異なる成分をもつ。順序対は n 項組へ一般化され、通常は入れ子になった対、または有限添字集合から成分への関数として定義される。

集合論的符号化

公理的集合論では、新たな原始的型を追加せずに対を扱えるよう、順序対は一般に集合として表現される。クラトフスキーによる標準的な構成では、(a, b) を集合 {{a}, {a, b}} と定義する。この符号化は必要な等号条件を満たし、a = b の場合にも機能する。歴史的にはほかの符号化も提案されてきたが、どれを選ぶかは基礎論上の便宜によるものであり、通常の数学には影響しない。

用途と例

直積は順序対から構成される。すなわち、A × B = { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B } である。関係は A × B の部分集合であり、A から B への関数とは、各 a ∈ A がただ一つの b ∈ B と対になっている関係である。座標幾何学では、平面上の点は数の順序対 (x, y) であり、ベクトル空間や積位相も組に基づいている。計算機科学では、順序対は2項組またはペアというデータ構造に対応し、多くの関数型言語のように不変である場合も、一部の配列表現のように可変である場合もある。

注記と一般化

• 順序対は非順序対と異なる。一般に {a, b} = {b, a} であるが、(a, b) = (b, a) となるのは a = b の場合に限られる。
• n 項組は、反復された順序対、または {1, ..., n} から成分への写像である。2項組は順序対である。
• 圏論では積対象が順序対を一般化する。積は特定の表現ではなく、普遍性によって一意な同型を除いて定まる。

記法には違いがあり、丸括弧による (a, b) と山括弧による <a, b> はいずれもよく用いられる。順序対は簡明で一般性が高いため、数学とその応用の全体で最も広く使われる構成の一つとなっている。