内積空間における正規直交性

基本的性質

正規直交系は、線形代数および関数解析において中心的な役割を果たす、単純な代数的・幾何学的性質をもつ。主な事実は次のとおりである。

• クロネッカーのデルタ：⟨u_i,u_j⟩ = δ_{ij} である。ここで δ_{ij} は i=j のとき1、それ以外のとき0である。
• 線形独立性：空集合を除き、任意の正規直交集合は線形独立である。
• 射影の簡明さ：x の単位ベクトル v への射影は ⟨x,v⟩ v である。
• パーセバル／プランシュレル：正規直交基底に関しては、係数の二乗和はベクトルのノルムの二乗に等しい。

例と構成法

標準的な例には、R^n または C^n における標準基底 e_i、およびフーリエ級数で用いられる正規直交三角関数がある。線形独立なベクトル族から出発する場合、グラム＝シュミットの過程により、同じ部分空間を張る正規直交ベクトル族を得られる。この手続きは J. P. Gram と Erhard Schmidt にちなんで名付けられた。

用途と重要性

正規直交基底は計算を簡単にする。座標は内積によって与えられ、正規直交な基底変換を表す行列は直交行列またはユニタリ行列となり、長さと角度を保存する。応用は数値線形代数、信号処理、量子力学、近似理論など、数学と工学の広範な分野に及ぶ。

区別と注意点

直交集合は、ベクトルが互いに垂直であっても必ずしも単位長ではないため、正規直交集合と混同してはならない。空間の完全な基底が正規直交である場合、それを正規直交基底という。すべてのベクトルは、内積を重みとする基底ベクトルの和として一意に分解される。さらに詳しくは、内積空間および単位ベクトルの概念を参照。