序数とは何か：文法上の用法・作り方と数学における無限序数

作り方と文法上の用法

英語では、序数は通常、基数詞に語尾を付けて作られる。最も一般的な語尾は -st（1st）、-nd（2nd）、-rd（3rd）、および一般形の -th（4th、5th、6th、…）である。ただし、10代の数には少数の例外がある。末尾の数字にかかわらず、11、12、13で終わる数には -th を付けるため、11th、12th、13thとなる。序数は名詞として（“the third”）、限定詞または形容詞として（“the third chapter”）用いられる。また、名詞句の前で複合修飾語として使われる場合には、しばしばハイフンで結ばれる。たとえば “a 21st-century idea” のように表記する。スペースが限られる場合には1st、2nd、3rdのような短縮形が一般的であり、正式な散文では綴りで書かれることが多い。

規則と一般的な例

• 基本規則：大半の数詞には -th を付ける。末尾が1、2、3の数には、それぞれ -st、-nd、-rd を用いる。ただし11～13は例外である。
• 日付：話し言葉の日付では序数が用いられる（“July fourth”）。一方、書き言葉の日付では “July 4, 2021” のように序数の表示を省くことがある。
• 順位と位置：序数は競技の順位、建物の階、章、節、手順の各段階などを示す。
• 添字：コンピューティングや数学では、添字を第1、第2などと呼ぶことがある。一部の文脈ではゼロ始まりの添字付けを用いるため、日常言語の序数による位置づけは一つずれる。

数学における序数

数学上の序数は、日常的な位置の概念を無限列や順序集合へと一般化したものである。集合論ではこの語は厳密に定義され、序数は整列集合の順序型を記述する。有限序数は、自然な数え上げにおける位置、すなわち第1、第2、第3、…に対応する。標準的な形式的アプローチでは、各序数を、それより小さいすべての序数からなる集合と同一視する。この構成はフォン・ノイマンに帰されることが多い。背景については集合論を参照。

無限の順序づけを認めると、新たな序数が現れる。最小の無限序数は、通常ギリシア文字のオメガで表される。これは、通常の形式化ではゼロを含む自然数の順序型を表す。自然数についての背景は自然数で確認できる。序数ωは最初の極限序数であり、その後にはω+1、ω+2、さらに大きな極限序数が続く。これらは、序数が単なる大きさを超えた位置を記録することを示している。すなわち、直前の序数をもつ次の要素であること（後続者序数）と、直前の要素をもたないこと（極限序数）の区別は重要である。無限性については無限を参照。

区別と意義

序数は基数と異なる。基数が集合に要素がいくつあるかという量を測るのに対し、序数は順序の中で要素が占める位置を記録する。実用上、序数は順位表、予定表、法的文書、ナビゲーション、アルゴリズム設計などで用いられる。その発展の歴史は、日常言語と厳密な数学的形式化の双方にまたがる。言語は表記法や日常的な用法に影響を与え、数学は無限および抽象的な順序型を扱う形式的な定義を与えた。さらに学ぶには、上記のリンクを通じて順序づけと集合論の入門的資料を参照するとよい。