ユークリッドの『エレメンツ（Elements）』とは：古代幾何学と数論の基本書
ユークリッド『エレメンツ』の全貌解説―古代幾何学と数論の原典、定理と公理をわかりやすく紹介。
ユークリッドのエレメンツ（ときどき：エレメンツ、ギリシャ語：Στοιχεῖα Stoicheia）は、紀元前300年頃にアレクサンドリア（エジプト）でユークリッド（紀元前325年～紀元前265年）として知られる古代ギリシャの数学者によって編纂された、幾何学と数論に関する包括的な教科書群です。全13巻（I–XIII）から成り、古くから1冊にまとめられて刊行されるよりも、13冊の独立した巻として扱われることが多いです。ラテン語訳では「Euclidis Elementorum」と呼ばれ、古代以降の数学文献の中で最も影響力のある著作の一つとされています。
ユークリッドは当時知られていた様々な成果──幾何学的作図、図形の性質、比例や無理数に関する理論、さらに整数に関する命題など──を整理し、定義・公理（公準）・共通概念から演繹的に命題を導く体系として提示しました。特に有名なのは五つの公準のうちの第五公準（平行線公準）であり、この公準を巡って後世に多数の研究と議論（そして19世紀の非ユークリッド幾何学の発見）を引き起こしました。
各巻のおおまかな内容
- 巻 I：点・直線・角・三角形などの基本定義、五つの公準、平面幾何の基本命題。直線・角の合同や三角形の合同条件、正多角形の作図など。
- 巻 II：いわゆる「幾何代数」。平方面積に関する恒等式の幾何学的表現（平方の分解など）。
- 巻 III：円の性質、接線や弦、角の関係など、円に関する諸命題。
- 巻 IV：円内での正多角形の作図法。
- 巻 V：ユークリッドとは別に有名なエウドクソス（Eudoxus）の比例理論に基づく、比と比例の一般的理論（実数の前駆的扱い）。
- 巻 VI：平面での相似図形とその応用。
- 巻 VII–IX：整数論。ユークリッドの互除法（最大公約数を求める方法）、素数の無限性の証明、完全数に関する結果などが含まれる。
- 巻 X：無理数（測地量の不可約性・有理と無理の分類）に関する長大で複雑な研究。既知の長さの分類を扱い、実数に近い考察を行う。
- 巻 XI–XIII：立体幾何学、平面を超えた空間図形の性質、さらに正多面体（プラトン立体）について。
重要な成果と特徴
- 公理化された体系：定義・公準・公理的手法により、証明可能な命題を体系化した点は、その後の数学的思考に多大な影響を与えました。
- ユークリッド互除法（最大公約数を求めるアルゴリズム）：今日でも基本的なアルゴリズムとして用いられています。
- 素数の無限性の証明：数論における古典的で簡潔な証明が含まれます。
- 作図問題：定規とコンパスによる作図法が標準的に示され、古典幾何学の教育的基礎を築きました。
- 無理数の取り扱い：巻V・Xなどで比例と無理量の概念が精密に扱われ、実数概念形成への重要な足がかりとなりました。
歴史的背景と伝承
今日伝わるエレメンツはユークリッド自身の完全な独創物というより、当時までに蓄積されていた幾何学的知識（タレス、ピタゴラス派、ヒッポクラテス、エウドクソス、テアテトスなどの業績）を整理・体系化したものと考えられています。原本はギリシャ語で書かれ、その後シリア語、アラビア語、ラテン語へと翻訳され、中世ヨーロッパやイスラム世界を通じて広く伝わりました。今日参照される代表的な原典校訂は、19世紀のハインリヒ・ロッベルト・ハイベルク（Heiberg）らによるギリシャ文献校訂です。
影響とその後の発展
エレメンツは教育と学術の両面で圧倒的な影響力を持ち、長らく西洋の幾何学教育の基礎教科書として使われました。17–19世紀の数学や自然哲学（科学）に与えた影響は計り知れず、論理的推論と公理的手法の模範ともなりました。19世紀には双曲幾何や楕円幾何などの非ユークリッド幾何学が発見され、ユークリッドの第五公準が唯一の選択肢ではないことが明らかになりましたが、それでも「ユークリッド幾何学」という言葉は、ユークリッド的公準系から導かれる幾何学全体を指す標準名として残っています。
近代的再解釈と公理化
19世紀末から20世紀初頭にかけて、ダフィット・ヒルベルト（David Hilbert）らによる厳密な公理化が行われ、ユークリッドの体系をより形式的で矛盾のない形に整理する試みがなされました。これにより、もともとのエレメンツの直観的な証明や暗黙の仮定が明確にされ、近代数学における公理主義の基礎も再確認されました。
まとめ
エレメンツは単なる幾何学書を越え、論理的推論・公理系・幾何学と数論の基礎を後世に伝えた書物です。古代の成果を整理し教育的に提示したその形式は、何世紀にもわたって数学教育のモデルとなり、今日の数学の基盤形成にも深く寄与しました。
ヘンリー・ビリングスレー卿の最初の英語版『ユークリッドの元素』（1570年）のタイトルページ。
XIV巻とXV巻を追加しました。
古代では、時折、著名な作家の著作に帰属するが、その作家が書いたものではないということがあった。このようにして、『元素の黙示録XIV』と『元素のXV』がコレクションに含まれることがありました。偽の本XIVは、おそらくペルガのアポロニウスの論文に基づいてヒプシクルスによって書かれたものである。この本は、球体に内接する規則的な固体のユークリッドの比較を続けている。主な結果は、同じ球体に内接する正十二面体と正二十面体の表面の比は、それらの体積の比と同じであるということです。
偽りの書XVは、おそらく、少なくとも一部は、ミレトゥスのイシドーレによって書かれたと思われます。この本には、正則な固体の辺の数や固体角の数を数えたり、辺で会う面の二面体角の尺度を求めたりすることが書かれています。
質問と回答
Q:ユークリッドの「エレメント」は誰が書いたか?
A:古代ギリシャの数学者ユークリッド（紀元前325年頃〜紀元前265年頃）が『ユークリッドの元素』を書きました。
Q:いつ書かれたのですか?
A:紀元前300年頃、エジプトのアレクサンドリアで書かれた。
Q:『ユークリッドの元素』のラテン語訳のタイトルは何ですか?
A:『ユークリッドの元素』のラテン語訳のタイトルは「Euclidis Elementorum」です。
Q:この本にはどんなことが書かれているのですか?
A:幾何学、遠近法、円錐曲線、球面幾何学、二次曲面、整数論などです。
Q:ユークリッドは小さな公理の集合で何をするのか?
A:ユークリッドは，小さな公理群を使って，幾何学的な物体の性質と整数を示している．
Q:最大公約数とは何ですか?
A:最大公約数（GCD）とは、与えられた2つの数を均等に割ることができる最大の数のことである。
Q:今日の幾何学体系は、古代に「幾何学」として知られていたものと比べて、どのように呼ばれているか?
A:現在の幾何学体系は、19世紀に数学者が発見した非ユークリッド幾何学と区別するために、ユークリッド幾何学と呼ばれています。
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