平行投影（幾何学・線形代数）

定義と代数的記述

ベクトル空間 V が V = U ⊕ W と分解され、U が対象部分空間、W が投影の方向（核）であるとする。このとき、像が U、核が W である線形写像 P を投影と呼ぶ。同値に、v − u が W に属するような U 内の一意な u に対して P(v) = u と定められ、P2 = P を満たす。座標で表すと、平行投影は列空間が U、零空間が W に等しい冪等行列で表現される。有限次元の場合、これにより階数とトレースが定まり、rank(P) = dim(U) となる。

種類と幾何学的な違い

代表的な幾何学的種類には、投影線が対象平面に垂直な正射影（直交投影）と、投影方向が傾いている斜投影がある。正射影は平面に対する垂直性を保ち、歪みを最小限にする。斜投影は平行性を保つ一方で、形状や角度を歪める。いずれも、投影線が透視投影のように視点へ収束せず、互いに平行であり続けるため、平行投影に分類される。

性質と例

• 冪等性：投影を2回適用しても、1回適用した場合と同じ結果になる（P2 = P）。
• 像と核による分解：補部分空間が存在する場合、V = im(P) ⊕ ker(P) となる。
• 保存される関係：投影方向に沿うすべての平行関係を保存するが、一般には長さや角度を保存しない。

具体例としては、平面への垂線を下ろす操作（工学製図で用いられる正投影図）、等角投影や二等角投影などの軸測投影（特殊な斜投影の選択）、ならびにベクトルの成分を除去したり最小二乗分解を構成したりする数値線形代数の代数的投影が挙げられる。

歴史、用途、注目すべき事項

平行投影は、透視図法のような収束なしに測定可能な縮尺図を得られるため、古くから技術製図や建築図面で用いられてきた。数学では、投影という抽象的概念が直和分解を支え、関数解析学で扱われる無限次元空間上の作用素のスペクトル理論にも関わる。計算上の応用には、モデル縮約、グラフィックスにおける正射影レンダリング、数値ソルバーにおける分割法が含まれる。投影の代数的概念の一般的な背景については線形代数を、形式的な枠組みについてはベクトル空間を参照。