平行六面体とは？定義・性質・例をわかりやすく図解

幾何学における 平行六面体（英: parallelepiped）とは、6つの面がいずれも平行四辺形である三次元の多面体です。平行六面体は、立方体や直方体、菱形面体などを含む広いクラスで、ユークリッド幾何学やアフィン幾何学で重要な役割を果たします。特にアフィン変換は立方体を一般の平行六面体に写すため、角度や長さは変わっても「平行性」や「比の関係」など多くの性質が保存されます。

平行六面体の定義（同値な表現）

6つの面を持つ多面体（六面体）で、各面が平行四辺形であるもの。
3組の平行な面を持つ6面体。
底面が平行四辺形である角柱（平行四辺形柱）。

代表的な具体例

直方体（6つの長方形の面を持つ）
立方体（6つの正方形の面を持つ）
菱形面体（6つの菱形の面を持つもの）

ベクトル・座標による表現と体積

平行六面体は、ある頂点を原点とし、その頂点から出る3本の辺をベクトル v1, v2, v3 とすると、頂点集合は次のように書けます：

0, v1, v2, v3, v1+v2, v2+v3, v3+v1, v1+v2+v3。

体積はこれらの辺ベクトルから求められ、三重スカラー積（行列式）で表されます：

V = |det[v1 v2 v3]|。

または、基底面（平行四辺形）の面積に高さを掛けたもの（底面積 × 高さ）としても表せます。

基本的な性質

対向する2つの面は平行かつ合同（同じ形・大きさ）である。
辺は3方向に分かれて、各方向に平行な辺が4本ずつある（辺は3組の平行な辺に分類される）。
平行六面体は中心対称（点対称）であり、8頂点すべてに対して中心で線対称になる。空間対角線（対角）4本は互いに交わり、その交点は各対角線の中点で一致する。
平面上の任意の面は平行四辺形であり、その対角線は互いに二等分する。
平行六面体はゾノヘドロン（zonohedron）の一例であり、各面はベクトル和に対応する平行四辺形として得られる。
立方体や直方体は特殊な平行六面体で、立方体は3組の辺が互いに直交し、直方体は各面が長方形である。

空間対角および辺の性質（具体例・公式）

頂点から対角に伸びる空間対角ベクトルは v1+v2+v3。したがって空間対角の長さは |v1+v2+v3|。
任意の平行六面体が直交する（直方体になる）ための条件は、v1·v2 = v2·v3 = v3·v1 = 0（内積が0）であること。
辺の長さは一般に3種類だが、各方向について対向する辺は長さが等しい。

応用と関連

結晶学や結び目理論、格子の単位胞（単位格子）としての利用。結晶構造の単位胞はしばしば平行六面体で表される。
アフィン幾何学では、平行六面体は立方体のアフィン像であり、角度や長さは保存されないが、平行性や比率に関する多くの性質は保たれる。
体積の計算や線形代数（行列式の幾何学的意味）の説明にしばしば用いられる基本図形である。

まとめ（覚えておきたいポイント）

平行六面体 = 各面が平行四辺形の六面体。
対向する面は平行かつ合同、対角線は中点で交わる（中心対称）。
体積は辺ベクトルの行列式の絶対値で計算できる。
立方体・直方体・菱形面体などはすべて平行六面体の特別な例である。

平行六面体は直感的にも扱いやすく、線形代数や結晶学、3次元図形の理解に役立つ基本的な立体です。必要であれば、具体的な座標例（例えば v1=(a,0,0), v2=(b,c,0), v3=(d,e,f) のような形）を挙げて、体積や各辺・対角の長さを計算する例を追加できます。

プロパティ

3組の平行な面は、いずれもプリズムの底面と見なすことができる。平行六面体は、4つの平行な辺が3組あり、各組の辺の長さは同じです。

平行六面体は、立方体の線形変換（非degenerateの場合は、双射的な線形変換）から生じる。

各面が点対称であることから、平行六面体は正四面体である。また、平行六面体全体が点対称性Cを持っています_i（三斜体も参照）。それぞれの面は、外側から見ると、反対側の面の鏡像である。面は一般にキラルであるが、平行六面体はそうではない。

任意の平行六面体の合同コピーで、空間を埋めるテッセレーションが可能です。

ボリューム

平行六面体の体積は、底面の面積Aと高さhの積である。底面は平行六面体の6つの面のいずれかである。高さとは、底面と反対側の面との垂直距離である。

別の方法では、ベクトルa = (a₁, a₂, a₃)、b = (b₁, b₂, b₃)、c = (c₁, c₂, c₃)を定義して、1つの頂点で交わる3つの辺を表します。この場合、平行六面体の体積は、スカラー三積a-(b×c)の絶対値に等しい。

V = | a・( b × c ) | = | b・( c × a ) | = | c・( a × b ) {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject ranks\♪♪～\What's New Year! $V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|$

これは、底辺の縁をbとcとすると、底辺の面積は、定義上、外積となるからです（外積の幾何学的意味参照）。

A =｜b｜｜c｜｜sin θ =｜b × c｜ , {\\\ A=left|\mathbf {b}.\c}になります。\sin theta =\\\\\♪♪♪♪♪～\♪♪♪♪♪♪♪｝ $A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,$

ここで、θはbとcの間の角度であり、高さは

h = | a | cos α , {displaystyle h=\\bf {a} ୨୧┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈୨୧｝ $h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,$

ここで、αはaとhの間の内角である。

この図から、αの大きさは0°≦α＜90°に限定されることが推察されます。逆に、ベクトルb×cは、90°よりも大きな内角β（0°≦β≦180°）をaで形成することができる。すなわち、b×cはhに平行なので、βの値はβ＝αまたはβ＝180°-αのいずれかとなります。

cos α = ± cos β = | cos β｜ {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\amatsuamatsuamatsuamatsu.｝ $\cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,$

そして

h = {a} {cos β} .{h=\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\} $h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|.$

と結論づけています。

V = A h = | a | b × c | | cos β | , {displaystyle V=Ah=\\mathbf {a} ୨୧ -͈ᴗ͈ˬᴗ-͈)\c}を表しています。\♪♪♪♪♪♪～｝ $V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,$

これは、スカラー（ドット）積の定義により、a-(b×c)の絶対値に相当するQ.E.D.です。

後者の式は、a、b、cを行（または列）とする3次元行列の行列式の絶対値にも相当する。

V = | det [ a 1a2 b 31b 2c3 c 12] | .3{\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.} $V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.$

これは、元の行列から3つの縮小された2次元の行列に対して、クラマーの法則を用いて求められます。

a,b,cを平行六面体の辺の長さ、α,β,γを辺の間の内角とすると、体積は

V = a b c +1 cos 2( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos ( 2α ) - cos ( 2β ) - cos ( 2γ ) .{\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}.} $V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}.$

対応する四面体

平行六面体の3つの収束辺を共有する四面体の体積は、その平行六面体の体積の6分の1に等しい（証明参照）。

パラレルレピピドを定義するベクトル。

特別なケース

対称面を持つ平行六面体には2つのケースがあります。

4つの長方形の面があります。
は2つのひし形の面を持っていますが、他の面のうち、隣り合う2つの面は等しく、他の2つの面も同じです（2つのペアはお互いに鏡像です）。

monoclinicも参照。

直方体とは、すべての面が長方形の平行六面体のことで、立方体とは、すべての面が正方形の立方体のことで、長方形の平行六面体とも呼ばれる。

菱形面体とは、すべての菱形面を持つ平行六面体のことであり、台形面体とは、菱形面が一致している菱形面体のことである。

長方形の平行六面体

完全な平行六面体

完全平行六面体とは、整数長の辺、面対角線、空間対角線を持つ平行六面体のことである。2009年、リチャード・ガイの未解決問題に答える形で、数十個の完全平行六面体が存在することが示された。ある例では、辺が271、106、103、小面対角線が101、266、255、大面対角線が183、312、323、空間対角線が374、300、278、272となっている。

2つの長方形の面を持つ完全な平行四辺形はいくつか知られている。しかし、すべての面が長方形のものがあるかどうかはわかっていません。そのような場合は完全立方体と呼ばれます。

パラレロトープ

コクセターは、平行六面体を高次元で一般化したものをパラレロトープと呼んだ。

具体的には、n次元空間では、n-dimensional parallelotope、または単にn-parallelotopeと呼ばれます。従って、平行四辺形は2-parallelotopeであり、平行六面体は3-parallelotopeである。

より一般的には、平行四面体（ボロノイ平行四面体）は、平行で合同な反対側の面を持っています。つまり、2-parallelotopeは、ある種の6角形を含むparallelogonであり、3-parallelotopeは、5種類の多面体を含むparallelohedronである。

n-parallelotopeの対角線は1点で交差し、この点で2等分されます。この点で反転すると、n-parallelotopeは変化しない。ユークリッド空間のアイソメトリー群の固定点の項も参照。

k-parallelotopeの1つの頂点から放射状に伸びる辺は、ベクトル空間のk-frame ( v , ... ,1 v n ) {displaystyle (v_{1}, eldots ,v_{n})} $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ を形成し、0〜1の重みでベクトルの線形結合をとることで、これらのベクトルからparallelotopeを復元することができる。

R mに埋め込まれたn-パラレルトープのn-体積（m≧n $\mathbb {R} ^{m}$ ）は、グラム行列式によって計算 $m\geq n$ できる。また、ベクトルの外積のノルムを体積とすることもできる。

V = ‖ v1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ .{V = ‖ v∧ ⋯ v n ‖ 。} $V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.$

m=nの場合、これはn個のベクトルの行列式の絶対値になります。

R n {\\}におけるn-parallelotope Pの体積を計算するもう一つの式は $\mathbb {R} ^{n}$ n + 1個の頂点をV , 0V , ... ,1 V n { displaystyle V_{0},V_{1},̫⃝˂̶̶̷V_{n}}}としたときの、R nにおけるn個の平行四辺形Pの体積を求める公式である。 $V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}$ である．

V o l ( P ) = | d e t ( [ V ] 01T , [ V ]11 T , ... , [ V n ]1 T ) | , {displaystyle {\{Vol}}(P)=|{\{det}} ([V_{0}1]^{rm {T}},[V_{1}1]^{rm {T}}, ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵) |, }。 ${\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,$

ここで、[ V i 1] {V_displaystyle [V_{i}\ 1]} $[V_{i}\ 1]$ は、V i {displaystyle V $V_{i}$ _{i}}と1を結合した行ベクトルである。実際、[ V i 1] {V_displaystyle [V_{i}\ 1]}から[ V ] {01V_{0}\ 1]} $[V_{0}\ 1]$ を引いても行列式は変わらない(i > 0)。 $[V_{i}\ 1]$ (i > 0)であり、[ V 01] {\\ [V_{0}\ 1]} $[V_{0}\ 1]$ を最後の位置に置くと、その符号が変わるだけである。

同様に、ある平行トープのn個の収束辺を共有するn個のシンプレックスの体積は、その平行トープの体積の1/n！に等しい。

レキシコグラフィー

この言葉は、1570年に出版されたSir Henry BillingsleyのEuclid's Elementsの翻訳では、paralleipipedonとして登場している。1644年に出版された『Cursus mathematicus』では、Pierre Hérigoneがparallelepipedumという綴りを使っている。オックスフォード・イングリッシュ・ディクショナリーによると、現在のparallelepipedの初出はWalter CharletonのChorea gigantum（1663年）である。

Charles Hutton's Dictionary (1795)にはparallelopipedとparallelopipedonが掲載されており、2番目の要素がepipedonではなくpipedonであるかのように、結合形式parallelo-の影響を受けていることがわかる。Noah Webster (1806) には parallelopiped という綴りがあります。オックスフォード英語辞典の1989年版では、parallelopiped（およびparallelipiped）は正しくない形として明示的に記載されていますが、2004年版ではコメントなしで記載されており、第5音節を強調したpi（/paɪ/）の発音のみが記載されています。

epi-（「上」）とpedon（「地面」）が組み合わさって、平らな「平面」を意味するepipedになったのです。したがって、平行六面体の面は平面であり、対向する面は平行である。

質問と回答

Q: 平行六面体とは何ですか?

A: パラレルパイプとは、6つの平行四辺形によって形成される3次元の図形です。

Q:平行六面体の他にどのような用語が使われることがありますか?

A:「菱形」という言葉も「平行六面体」と同じ意味で使われることがあります。

Q: 平行六面体とどのような関係があるのでしょうか?

A:立方体と正方形、立方体と長方形の関係と同じように、平行四辺形との関係もあります。

Q: ユークリッド幾何学の平行六面体の定義は、4つの関連する概念すべてを含んでいるのでしょうか?

A: はい、ユークリッド幾何学では、平行六面体の定義は、平行六面体、平行四辺形、立方体、正方形という4つの関連する概念すべてを含んでいます。

Q: アフィン幾何学の背景は何ですか?

A: アフィン幾何学の文脈は、角度が微分されないものです。

Q: アフィン幾何学の文脈では、平行六面体の定義に含まれる図形は何ですか?

A: アフィン幾何学において、平行六面体の定義は平行四辺形と平行六面体のみを認めています。

Q: 平行六面体の3つの等価な定義とは何ですか?

A: 平行六面体、平行六面体、底辺が平行四辺形のプリズムの3つが平行六面体の定義です。