角錐（幾何学）：種類、性質、公式

構成要素と基本的な特徴

角錐の主要な要素には、底面、頂点、側面、底辺、および側辺がある。各側面は底辺の一辺を共有する三角形であり、こうした三角形の面は側辺に沿って二つずつ接し、すべて頂点で交わる。高さには通常二種類が用いられる。垂直高（または高さ）は、頂点から底面の平面までの垂直距離である。斜高は、正角錐の場合に、側面に沿って頂点から底辺の中点まで測った距離をいう。

主な種類と例

• 四角錐：底面が正方形で、三角形の側面を四つもつ角錐である。初等幾何学でよく扱われる正四角錐では、頂点は正方形の底面の中心の真上に位置する。典型的な模型については四角錐を参照。
• 三角錐（四面体）：底面が三角形で、立体全体の面は四つである。正四面体は合同な正三角形の面を四つもち、この最も単純な多面体はしばしば四面体と呼ばれる。
• 正角錐：底面が正多角形であり、頂点から下ろした垂線の足が底面の中心にある角錐である。すべての側面は合同な二等辺三角形となる。
• 斜角錐：頂点が底面の中心の真上にない角錐であり、側面は対称ではなくなる。

体積と錐台

任意の角錐の体積は、底面積と高さから求められる。標準的な公式は V = (1/3)Bh である。ここでBは底面積、hは頂点から底面の平面までの垂直高を表す。一辺の長さがaである正方形を底面とする場合、これは V = (a2h)/3 となる。この1/3という係数により、角錐は底面と高さが同じ柱体と区別される。同じ底面と高さをもつ柱体の体積はB・hである。

角錐を底面に平行な平面で切断すると、その平面と底面との間に残る部分は錐台となる。平行な二つの底面積をB1、B2、高さをhとすると、錐台の体積は V = (1/3)h(B1 + B2 + sqrt(B1・B2)) である。この式は断面どうしの相似性から導かれる。

表面積

角錐の表面積は、底面積と側面積の和である。正角錐では、底面の周長をp、斜高をlとすると、側面積Lは L = (1/2)pl と計算できる。したがって、表面積Aは A = B + (1/2)pl である。不規則な角錐では、側面積は個々の三角形の面積の和であり、それぞれ底辺の長さと対応する斜高を用いて計算する。

用途、他の立体との違い、および注目すべき事実

角錐は建築や工学に現れ、その名称は古代の記念碑的建造物に由来することでよく知られている。平面からなる単純な構造のため、数学的モデリング、コンピュータグラフィックス、最適化問題にも用いられる。幾何学的には、角錐は側面が三角形で一つの頂点に収束する点で柱体と異なる。円錐は、曲線の底面と側面をもつ連続的な類例である。四面体は四つの面をもつ最も単純な三次元多面体であり、正多角形を底面とする角錐は、対称性や多面体双対を学ぶ際の基本例としてしばしば用いられる。

実用上の注意

角錐に関する問題を解く際は、まず底面を特定し、垂直高を測定する。断面や錐台では相似の考え方を用い、体積公式を適用する前に底面積Bを具体的な式に直すことが重要である。たとえば正方形の底面ではB = a2となる。ここで示した公式は初等幾何学および立体幾何学で標準的なものであり、設計や解析における多くの応用計算の基礎となる。