概要
数学では、「商」は最も一般的には、ある数を別の数で割ったときに得られる結果を指す。量 a を b で割ると、a ÷ b または a/b は商を与え、b が a の中に何回入るかを表す1つの数になる。この基本的な意味は、正確な算術（分数や小数を得る）にも、整数除法（整数の商と余りを得る）にも広がる。
除算と整数商
除算には3つの役割がある。割られる量である被除数、割る量である除数、そして結果である商である。たとえば 6 ÷ 3 = 2 では商は 2 になる。17 ÷ 5 では厳密な値は 3.4 だが、ユークリッド除法における整数部分または整数商は 3 で、余りは 2 である。ユークリッドの除法補題は、整数 a と b>0 に対して、a = bq + r かつ 0 ≤ r < b を満たす一意な整数 q（商）と r（余り）が存在すると述べる。
変種と表記
商は文脈に応じていくつかの形で現れる。正確な商 a/b は、有理数または小数として表される。整数を扱う場合、プログラミング言語や数学上の約束により、整数商の取り方は異なることがある。床関数による切り捨て、0 に向かう切り捨て、あるいはユークリッド商などである。代数学では、この語は構造の一部を「割り出す」構成にも使われる。たとえば商群、商環、商空間では、要素を同値関係に従って同一視し、その同値類の集合に代数構造を与える。
代数的・位相的な商
抽象代数学では、商を作るとは、群の正規部分群を単位元に潰し、剰余類の集合を調べることを意味する。新しい対象は、その部分群によって割ったあとの元の群の構造を反映する。同様に、商環はイデアルを因子として取り除き、商ベクトル空間は部分空間で割る。位相空間論では、同値関係のもとで点を同一視し、その同値類の集合に商位相を入れて商空間を得る。これらの用法は、数値としての割り算ではなく、数学的対象の一部を「割り出す」「因子でくくる」という直感を共有している。
用途、例、日常的な意味
純粋数学の外でも、商は比や率を表すために使われる。人口密度は人口を面積で割った商であり、速度は距離を時間で割ったもの、単価は費用を数量で割ったものとして表される。心理測定学では「知能指数」(IQ) という語は、もともと精神年齢と暦年齢の比を意味した。現在では、検査から得られる標準化得点を指す。商を比較値、または単位あたりの値としてとらえる考え方は、科学、工学、金融で広く用いられている。
区別と注目点
- 算術における「商」と代数学における「商」では意味が異なる。前者は数値結果、後者は同値類から構成される構造である。
- 整数商の規約は文脈によって異なり、floor(a/b) を使う場合もあれば、0 に向かう切り捨てを使う場合もある。負の数を扱うときに重要である。
- ユークリッド除法では、除数が正であるとき、(商, 余り) の組が一意に定まる。
入門的な読書としては、基本的な除算、ユークリッドの互除法、有理数、合同算術、そして商群や商位相空間のような代数的構成が、商に関連する話題である。これらはいずれも、ある対象が別の対象に対して何回数えられるか、またはどのような形で取り込まれるかという中心的な考え方を強調している。