関数の零点（関数の根）：定義・重複度・求め方

用語と重複度

微分可能な関数 f について、根 x0 が f(x0) = 0 かつ f'(x0) ≠ 0 を満たすとき、これを単根という。f とそのいくつかの導関数が x0 でゼロとなる場合、その根はより高い重複度を持つ。重複度 m の根とは、局所的または代数的な意味で因子 (x−x0)m が関数を割り切ることをいう。重複度は代数的な根の個数にも数値計算上の挙動にも影響する。多くの反復法は重根の近くでは収束が遅くなる。

多項式と複素根

多項式は代数的構造を持つため、根を考えるうえで中心的な対象である。背景については多項式を参照されたい。この参考文献で標準的に論じられる代数学の基本定理は、複素係数を持つ非常数多項式が少なくとも一つの複素根を持つことを述べる。この結果と、多項式の剰余定理のような除法補題を組み合わせると、n 次の零でない多項式は、重複度を込めてちょうど n 個の複素根を持つことが分かる。実係数多項式では、非実根は共役な対として現れる。

一般の関数に対する存在結果

連続性と微分可能性は、実根の存在および位置に関する判定基準を与える。中間値の定理によれば、連続関数がある区間で符号を変えるならば、その区間内には少なくとも一つの実根が存在する。解析関数の零点は、その関数がある領域で恒等的にゼロである場合を除き孤立している。また、複素解析の手法は、複素平面における零点の個数を数え、その位置を求めるための強力な道具を与える。

根を求める方法

厳密な代数的解が存在するのは特殊な場合に限られる。たとえば、一定の形のもとでの一次、二次、三次および四次の公式である。実際には数値的方法が広く用いられる。二分法のような頑健な区間縮小法は、符号変化が分かっているときに根を求める。ニュートン・ラフソン法のような開放型の方法は局所的にはより速く収束するが、良い初期値と導関数の情報を必要とする。ほかに、割線法、レギュラ・ファルシ法、高次の手法などの変種がある。多項式に対しては、コンパニオン行列に基づく手法や同時根法などの専用アルゴリズムにより、すべての根を計算できる。反復的な方法では、数値的不安定性を避けるため注意深く既知の因子を取り除くデフレーションが用いられることがある。

• 区間縮小法（二分法）：符号変化が既知であれば信頼性が高い。
• ニュートン型手法：単根の近くでは高速だが、重根の近くでは遅くなったり不安定になったりする。
• 割線法とハイブリッド法：頑健性と速度の間にトレードオフがある。
• 多項式専用の解法：固有値に基づく方法または同時根反復により、すべての複素根を求める。

アルゴリズムを実装する際には、有限精度、停止判定、重複度の検出を考慮しなければならない。ソフトウェアの文書や数値計算ライブラリは実用的な指針を提供しており、入門資料および数値的な参考文献は根探しの資料と一般的な多項式の案内で参照できる。

応用と関連概念

根は数学とその応用の全域に現れる。例として、物理学における平衡点、線形代数における固有値問題、微分方程式における境界条件、最適化における最適性条件がある。関連する概念には、値がゼロになるのではなく発散する有理型関数の極、導関数がゼロとなる極値、そしてベクトル値関数へ根探しを一般化する方程式系の解集合が含まれる。方程式系には、線形代数および数値継続法の道具が必要となる。

さらに学ぶには、方程式と関数に関する初等的な解説、根探しを扱う数値解析の入門書、存在定理と重複度を詳述する代数または複素解析の文献を参照するとよい。基本定理についてはこの資料、剰余定理のような除法に関する事実については剰余定理、次数に関する議論についてはn 次を参照されたい。実用的なソフトウェア上の注意と例は、一般的な計算ガイドやライブラリ文書にある根探しの資料、および一般的な多項式に関する資料で利用できる。