代数学の基本定理：複素係数多項式の根と完全因数分解

形式的な記述

p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a0を複素係数の多項式とし、an ≠ 0とする。このとき、p(r)=0を満たす複素数rが存在する。さらに強く、複素平面内には重複度を込めてちょうどn個の根が存在する。このことにより一次因子への完全な因数分解が保証され、代数学の理論や複素関数論における多くの構成の基盤となる。

概念と前提知識

定理の記述や証明で用いられる主要な概念には、次数、根（零点）、重複度、代数的閉包がある。証明にはしばしば数学解析の考え方、実数の性質、複素数値関数の振る舞いが用いられる。多項式関数の極限と連続性を利用する議論が多く、平面に関する位相的事実や、偏角の原理などの複素解析的手法を使う場合もある。背景として、極限や複素解析の手法に関する入門的説明が役立つ。

歴史と証明の方法

最初に広く受け入れられた証明は、カール・フリードリヒ・ガウスに帰される。ガウスは初期の研究で論証を提示し、のちにそれを改良した。以後、数学者たちは多様な証明を与えてきた。初等的な解析学的証明、複素解析を用いる証明（たとえばルーシェの定理や偏角の原理によるもの）、代数的位相幾何学的な議論、体論からの方法などである。これらの方法を集めた概説は、比較やより深い学習に有用である。

帰結と例

この定理から、次数nの任意の多項式は重複度を込めてちょうどn個の複素根をもつこと、また複素数に対して任意の多項式の新たな根を与える代数拡大は存在しないことが導かれる。たとえば、実係数の二次式は常に二つの複素根をもち、それらは一致していても実数であってもよい。5次以上では、根号による閉形式の解は一般には得られない（アーベル＝ルフィニの定理を参照）。したがって本定理は根の存在を保証するが、初等的な公式を与えるものではない。根の実際的な計算では数値的方法やソフトウェアが利用される。複素数の概説および根を計算する技法も参照されたい。

応用と補足

この定理は現代の代数学、複素解析学に加え、特性多項式が系の振る舞いを定める制御理論や信号処理などの応用分野を支えている。ただし、根を明示的に見いだす方法を指定するのではなく、複素平面内での存在だけを主張する。他の体、たとえば実数体や有限体の上ではこの主張が成り立たないことがあり、この点は複素数体の特別な性質を際立たせる。定理の発展に関する背景は、証明と歴史を扱う標準的な文献や概説、参考文献、ガウスおよび後世の解説者に関する伝記的資料から得られる。

• 重複度：重複度を込めて数えた根の総数は次数に等しい。
• 代数的閉包：複素数は代数的閉体である。
• 証明の多様性：互いに独立した複数の証明方針は、数学の諸分野のつながりを示す。比較のためには多項式論の概観を、手法に焦点を当てた案内としてはべきと多項式に関する資料を参照。