単連結空間（位相幾何学）

形式的定義

形式的には、位相空間 X が弧状連結であり、円周 S^1 から X への任意の連続写像が、S^1→X という写像の間のホモトピーを通じて定値写像にホモトピックであるとき、X を単連結という。同値な条件として、任意の基点 x0 における基本群 π1(X,x0) が自明群であることが挙げられる。X が弧状連結ならば、π1 が自明であるかどうかは基点の選び方に依存しない。そのため、単連結性について述べる際には基点に関する条件を繰り返さないことが多い。

例と反例

• ユークリッド空間 R^n は、すべての n≥1 について単連結である。特に R および R^2 は単連結である。
• 2次元球面 S^2 と、より高次元の球面 S^n（n≥2）は単連結であるが、S^1 は単連結ではない。
• 開円板や中身の詰まった球は単連結である。これに対し、環状領域は穴を囲むループを縮約できないため、単連結ではない。
• トーラスおよび種数が1以上の任意の曲面は単連結ではない。一点を取り除いた平面、すなわち穴あき平面も単連結ではない。
• 平面内の8の字曲線のように、本質的なループを含むため、弧状連結であっても単連結ではない空間がある。

関連概念と重要性

単連結性は可縮性より弱い条件である。可縮な空間はすべて単連結であるが、逆は必ずしも成り立たない。たとえば S^2 は単連結だが可縮ではない。この性質は基本群によって代数的に判定でき、X が単連結であることと π1(X) が自明群であることは同値である。被覆空間論やザイフェルト＝ファン・カンペンの定理など、代数的位相幾何学の多くの手法は、単連結性を用いて空間を分類し、不変量を計算する。

複素解析では、複素平面内の単連結領域は特別な意義をもつ。C の任意の単連結開部分集合上では、正則関数は原始関数をもち、特定の写像定理が適用される。さらにリーマン写像定理は、複素平面の単連結な真の開部分集合が単位円板と共形同値であることによって特徴づける。

著名な事実と歴史

基本群の概念と関連する考え方は、代数的位相幾何学が発展した19世紀後半から20世紀初頭に生まれた。アンリ・ポアンカレは中心的な役割を果たした。単連結性に関係する著名な結果に、現在では定理となっているポアンカレ予想がある。これは、3次元において、閉じた単連結3次元多様体はすべて3次元球面と同相であるという主張である。この予想は21世紀初頭にグリゴリー・ペレルマンによって証明された。

「穴」についての幾何学的直観と厳密な記述、位相幾何学および代数的不変量の初等的な解説については、位相幾何学の資料と例を参照。