環のスペクトル：定義、ザリスキー位相とスキーム論

定義と位相

集合としては、Spec(R) = {p ⊂ R | p は素イデアル} である。閉集合は、元の集合の消滅によって定められる。すなわち S ⊂ R に対して、V(S) = {p ∈ Spec(R) : S ⊂ p} とする。補集合 D(f) = {p : f ∉ p} は開集合の基底をなす。このザリスキー位相は一般に粗く、T0 空間ではあるがハウスドルフ空間ではない。環 R における代数的関係を反映しており、素イデアルの包含関係は点の特殊化に対応する。

構造層と局所的挙動

Spec(R) には位相に加えて層 OSpec(R) が与えられ、基本開集合 D(f) 上の切断は局所化 Rf である。点 p における茎は局所環 Rp を再現するため、点の幾何学的性質は対応する局所化環の代数的性質へと翻訳される。この局所から大域への対応は、可換代数と幾何学の結び付きの中心をなすものであり、可換代数の基礎でもある。

主要な性質と例

• Spec(R) は準コンパクトであり、任意の開被覆は有限部分被覆をもつ。
• 既約閉部分集合は素イデアルに対応し、極小素イデアルは既約成分を与える。
• 多くの古典的な状況では極大イデアルが閉点に対応するが、一般に Spec(R) には一般的挙動を表す閉でない点も含まれる。
• 体 k に対する Spec(k) は一点からなる。Spec(Z) には各素数に対応する一点と、(0) に対応する一般点がある。Spec(k[x]) は体 k 上のアフィン直線を模型化する。

用途、重要性と区別

Spec(R) は原型的なアフィンスキームである。任意のアフィンスキームは、局所環付き空間として、その座標環の Spec と同型である。大域的なスキームは、このようなアフィン部分から貼り合わせて構成される。この構成は、環を空間上の関数の代数として扱い、幾何学的現象を代数を通じて研究するという考え方を厳密にする。Spec(R) と MaxSpec(R) は区別されることが多い。後者は極大イデアルのみからなり、代数閉体上の古典代数幾何学でしばしば用いられるのに対し、Spec(R) は算術的・スキーム論的な議論に必要な、より精細な情報を保持する。

歴史的注記と参考文献

スペクトルをスキームの構成要素として体系的に用いる方法は、素スペクトル自体はそれ以前から可換代数で考察されていたものの、20世紀半ばにグロタンディークとその協力者たちによって広められた。簡潔な導入と例については、スキーム論および代数幾何学の標準的な文献を参照されたい。Spec(R) は、代数的操作と幾何学的直観を結び付ける中心的かつ柔軟な道具であり続けている。