変換（数学）

表現と性質

多くの変換は、各入力点を像点へ送る関数 f: X → Y として記述される。線形およびアフィンな場合、これらの関数は行列に対応し、場合によっては平行移動ベクトルが加わる。重要な性質には、可逆性、不動点、距離または角度を保存するかどうか、合成に対する振る舞いがある。変換を繰り返し適用したり、複数の変換を合成したりすると、しばしば別の有効な変換が得られる。合成を演算とする変換の集合は、群や半群などの代数構造をなす。

主な種類

• 平行移動は、すべての点を同じベクトルだけ移動させる。
• 回転は、軸または中心のまわりに点を回す。典型的な幾何学的回転の例は回転を参照。
• 反射は、直線または平面に関して図形を反転させる。基本的な鏡映対称性については反射で説明されている。
• 拡大・縮小（スケーリング）は形状を保ったまま大きさを変え、せん断は方向に平行な層をずらすことで形状をゆがめる。
• 反転および非線形写像は、平面幾何学における円に関する反転のように、内側と外側の領域を入れ替えることがある。

歴史と発展

変換の体系的な代数的研究は、幾何学的な運動を方程式で符号化できるようにした座標幾何学の導入から発展した。その後、線形代数と群論の発展により、変換を分類し操作するための道具が得られた。たとえばエルランゲンプログラムは、変換群によって幾何学を記述することを重視した。時代とともに、変換の概念は単純なユークリッド運動から、数学の広い領域で用いられるアフィン写像、射影写像、共形写像、さらに専門的な写像へと一般化されてきた。

用途と重要性

変換は多くの分野の基礎となっている。幾何学では対称性と合同を記述し、物理学では基準系の変更と保存則を表す。コンピュータグラフィックスでは、行列によって物体を配置しアニメーション化する。データ解析と機械学習では、特徴量のスケーリングや次元削減に利用される。ロボティクスと工学では、運動学やセンサ座標系のモデル化に変換が用いられ、地図作成と地理情報システムでは、異なる投影法を整合させるために座標変換が使われる。

区別と注目すべき事実

重要な区別として、線形変換とアフィン変換（アフィン変換には平行移動が加わる）、剛体変換と相似変換（剛体変換は距離を保存し、相似変換は尺度を除いて形状を保存する）、非線形写像における局所的・大域的な振る舞いがある。対応する行列の行列式は、線形写像における向きと体積の拡大・縮小を示す。変換がどの性質を保存するかを理解することは、理論と実践の双方における適用と分類の指針となる。

座標表現、回転の慣習、反射対称性についてさらに理解を深めるには、上記の関連項目または線形代数と幾何学の標準的な文献を参照するとよい。