三角数：定義、性質、例と応用

基本的性質

三角数は簡潔な漸化式と組合せ論的恒等式を満たす。漸化的にはT0 = 0、n ≥ 1に対してTn = Tn−1 + nである。組合せ論的には、Tnは二項係数C(n+1, 2)に等しい。したがって三角数は、n+1個の要素から選ぶ順序を区別しない2要素の組の数を数える。この関係により、三角数が組合せや握手の問題に現れる理由が分かる。

与えられた整数xが三角数かどうかを判定する標準的な代数的方法は、n(n+1)/2 = xを解くことで得られる。これを整理するとn2 + n − 2x = 0であり、n = (−1 + sqrt(1 + 8x)) / 2となる。よってxが三角数であるのは、1 + 8xが完全平方数であり、この式から非負整数nが得られる場合に限る。例えばx = 10では、1 + 8・10 = 81 = 92であるため、n = 4となる。

歴史と例

三角数は古代からギリシアの数学者に考察され、その後、中世およびルネサンス期の学者たちにも研究された。よく知られた逸話では、カール・フリードリヒ・ガウスが1から100までの和を素早く求めたとされる。その結果5050は、n = 100として三角数の公式n(n+1)/2から直接得られる。小さな例として、6 = 1+2+3、28 = 1+2+3+4+5+6+7などがある。

応用と注目すべき事実

三角数は初等組合せ論に広く現れる。n人の間で交わされる握手の数はC(n,2) = Tn−1である。三角数は図形数の一種であり、他の数列とも関係する。すべての三角数は、あるmに対する二項係数C(m,2)である。また、三角数の一部は平方数でもあり、これらは平方三角数と呼ばれ、その解はペル方程式型の方程式から得られる。さらに、現在知られているすべての偶数完全数は、古典的にはメルセンヌ素数から導かれ、三角数でもある。

三角数は代数的な形が単純であるため、二次方程式、ディオファントス問題、図形数の幾何学への入門として利用される。個々の三角数の一覧や例については定義と和を、背景となる自然数についても参照できる。