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転置（行列演算）：定義・性質・応用

行列またはベクトルの転置は、行と列を入れ替える操作です。定義、基本性質、表記法、例、および数学や応用分野での利用について解説します。

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概要

転置は、行列の行を列に、列を行に入れ替える線形代数の基本操作である。m行n列行列 A の転置は AT または A' と表され、n行m列行列となる。その (i, j) 成分は、A の (j, i) 成分に等しい。同じ考え方はベクトルにも適用され、列ベクトルは転置によって行ベクトルに、行ベクトルは列ベクトルになる。一般的な行列についても参照。

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Matrix transpose
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定義と簡単な例

形式的には、A = (aij) であれば、AT = (aji) である。たとえば、2×3行列は添字を交換することで3×2行列になる。A = [[1,2,3],[4,5,6]] のとき、AT = [[1,4],[2,5],[3,6]] である。転置は成分を並べ替えるだけの操作であり、基礎となるスカラーの体を変えるものではない。

基本性質

  • 対合性：(AT)T = A。
  • 線形性：(A+B)T = AT + BT、およびスカラー c に対して (cA)T = cAT。
  • 積の規則：(AB)T = BTAT。積の順序が逆になることに注意が必要である。
  • 逆行列：A が可逆ならば、(A-1)T = (AT)-1。

用途と例

転置は線形代数およびその応用全体に現れる。内積 xTy の構成、対称行列 AT = A と歪対称行列 AT = −A の記述、統計学における共分散行列の定義、コンピュータグラフィックスにおける変換の操作などがその例である。また、行空間と列空間の観点を切り替える際や、特定のメモリ配置を必要とするアルゴリズムを実装する際にも用いられる。

変種と重要な事実

複素行列では、転置と複素共役を組み合わせた共役転置が用いられる。これはエルミート転置とも呼ばれ、A* または AH と表され、内積や自己随伴作用素に重要である。通常の転置の表記は文献によって異なり、AT、A'、Atr などが使われる。転置は概念上は簡単な操作だが、乗法の順序を反転させ、多くの行列の構造的性質と関係するため、重要な代数的帰結をもつ。

関連項目

著者

AlegsaOnline.com 転置（行列演算）：定義・性質・応用

URL: https://ja.alegsaonline.com/art/101200

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