三角関数は、角度と直角三角形の辺の比、さらに単位円上の座標を結びつける基本的な数学関数である。初等的な場面では、主な関数は正弦、余弦、正接である。これら三つの逆数として、余接、正割、余割が定義される。こうした概念は、周期的な現象を表し、線形の量と角度の量を関連づけるため、数学や物理科学の広い範囲に現れる。

定義と主要な性質

三角関数の定義には、互いに補完し合う二つの見方がある。直角三角形の幾何では、鋭角θに対して、正弦はθの対辺と斜辺の比、余弦は隣辺と斜辺の比、正接は対辺と隣辺の比として定義される。単位円（半径1）では、各角度は点(cos θ, sin θ)に対応し、この見方によって定義はすべての実数角へ拡張され、三角関数と回転対称性が結びつく。

  • 周期性: 正弦と余弦の周期は2π、正接の周期はπである。
  • 奇偶性: 余弦は偶関数であり（cos(−θ)=cos θ）、正弦は奇関数である（sin(−θ)=−sin θ）。
  • ピタゴラスの恒等式: sin²θ + cos²θ = 1。
  • 解析学との関係: 三角関数の微分と積分は解析学の基礎であり、たとえば d/dθ sin θ = cos θ である。

歴史と発展

三角比に相当する考え方は、古代の天文学者や測量者によって用いられていた。ギリシャの数学者たちは弦の表を体系化し、その後、インドとイスラム世界の学者たちが正弦と余弦を現代的な形へ発展させた。17世紀から18世紀にかけて、微積分学と複素解析は三角関数に確かな解析的基盤を与え、オイラーの公式はそれらを指数関数と結びつけた。角度と幾何学的起源の背景については、角や、三角形の幾何のような古典的な解説も参照できる。

用途と例

三角関数は、振動、波、回転をモデル化する。航海や天文学では方位や天球座標に、工学では信号処理や交流理論に、応用数学ではフーリエ級数やフーリエ変換に現れる。簡単な例としては、振動する弦を表すことや、周期信号を正弦成分と余弦成分に分解することがある。多くの教科書や応用例では、これらの使い方が詳しく説明されており、こちらでも示されている。

関連関数と区別

六つの古典的な関数に加えて、逆三角関数（arcsin、arccos、arctan）は比から角度を返す。双曲関数（sinh、cosh、tanh）は類似しているが、円の幾何ではなく指数関数的な定義から生じる。三角関数を複素数の引数へ拡張すると、指数関数や解析接続との深い結びつきが明らかになる。これらの解析的側面については、高度な参考文献でさらに知ることができる。