行列

数学では、行列（複数形：matrices）とは、行と列に配置された長方形の数字のことである。行はそれぞれ左から右へ（水平方向）の直線で、列は上から下へ（垂直方向）の直線である。左上のセルは1行目の1列目にあります（右図参照）．

行列の足し算、引き算、掛け算のルールがあるが、数のルールとは違う。例えば、A ⇔B {\displaystyle A\cdot B{\displaystyle A\cdot B}}は、B ⇔A {\displaystyle B\cdot A}と同じ結果になるとは限らない。{\displaystyle B\cdot A}これは常数の掛け算の場合です。行列は，3次元行列のように2次元以上の次元を持つことができます．また，行列は，1行または1列の1次元であることもあります．

多くの自然科学では行列を多用している。多くの大学では、行列（通常は線形代数と呼ばれています）についての授業は非常に早く、時には初年度にも教えられています。行列はコンピュータサイエンスでもよく使われています。

行列の特定の項目は，行と列のそれぞれの数値に対して，添え字のペアを使用して参照されることがよくあります．Zoom
行列の特定の項目は，行と列のそれぞれの数値に対して，添え字のペアを使用して参照されることがよくあります．

定義と表記

行列の横線を行、縦線を列と呼びます。m行n列の行列をm×n行列（またはm×n行列）と呼び、mとnをその次元と呼びます。

行列の中で数字がある場所をエントリと呼びます．行列Aの行番号iと列番号jにあるエントリをAのi,jエントリと呼びます。 これをA[i,j]またはai,jと書きます。

A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{mtimes n}}}と書くことで、{\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n について、各エントリが ai,j と呼ばれる m × n の行列 A を定義する。

例

行列

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}}

は 4×3 の行列です。この行列は、m=4行、n=3列である。

要素ａ［２，３］またはａ２，３が７である。

業務内容

追加

2つの行列の和は、(i,j)番目のエントリが2つの行列の(i,j)番目のエントリの和に等しい行列である。

1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] { {displaystyle {begegin{bmatrix}1&&.3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

2つの行列は同じ次元を持つ。ここで、A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A{\displaystyle A+B=B+A}}は真である。

2つの行列の掛け算

2つの行列の掛け算は少し複雑です。

( a 1 a 2 a 3 a 4 )・・・ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( ( a 1 ⋅b 1 + a 2 ⋅b 3 ) ( a 1 ⋅b 2 + a 2 ⋅b 4 ) ( a 3 ⋅b 1 + a 4 ⋅b 3 ) ( a 3 ⋅b 2 + a 4 ⋅b 4 ) ] です。{\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\\bmatrix}={begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)A3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)A3\\\\bmatrix}={B4\\\\bmatrix}={B4\\\\\bmatrix}}={B4\\\\\bmatrix}}={B4\\\\bmatrix}={B4\\\bmatrix}={B4\\\\bmatrix {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrix}}}

ナンバーズの場合もそうですね。

3&5&0\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cot.co.(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

  • 2つの行列は，1つ目の行列の列の数が2つ目の行列の行の数と等しい限り，次元が異なっていても互いに乗算することができます．
  • 積と呼ばれる乗算の結果は，1番目の行列と同じ行数，2番目の行列と同じ列数の別の行列となります．
  • 行列の掛け算は可換的ではないので、一般的には A ≠ B ≠ B ≠ A ≠ A ≠ A ≠ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}
  • 行列の掛け算は連想的なので、( A ⇔ B )⇔ C = A ⇔ ( B ⇔ C ) {\displaystyle (A\cdot B)C=A\cdot (B\cdot C)} となります。 {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

特殊行列

特殊な行列があります。

正方行列

正方行列は行の数と列の数が同じなので、m=nとなります。

正方行列の例は

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {pos(100,000)} {pos(100,000)} {pos(100,000)} {pos(100,000)} {pos(100,000)} {pos(100,000)} {pos(100,000)} {pos(100,000)} {pos(100,000)} {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\-7&6&8\\\end{bmatrix}}}

この行列は3行3列：m=n=3です。

アイデンティティ

行列のすべての正方次元集合には，「同一性行列」と呼ばれる特別な対応関係がある．同一性行列は，主対角線上のすべての対角線を除いて，ゼロ以外のものは何もありません．例えば，次のようになります．

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1} ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}

は同一性行列である．正方次元集合には，各正方次元集合に対して正確に 1 つの同一性行列が存在します．等値行列が特殊なのは，任意の行列に等値行列を乗算すると，結果が常に元の行列になり，変更がないからです．

逆行列

逆行列とは，別の行列と掛け合わされたときに，同一性行列と等しくなる行列のことです．例えば

♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}}isverse of [ 7 8 6 7 ] ♪ is theverse of [ 7 8 6 7 ] ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪{\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}}.

2x2行列の逆数の公式は、 [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}}です。

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle ™left({\frac {1}{det}right}) {\begin{bmatrix}v&y\-z&xend{bmatrix}}}}} {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}}


ここで d e t {displaystyle det{\displaystyle det}} は行列式である。2x2の行列では、行列式は次のようになる。

x v - y z {displaystyle {xv-yz}}} {\displaystyle {xv-yz}}

1列マトリクス

行列は，多くの行を持ち，1列しかないものを列ベクトルと呼びます．

決定要因

行列式は正方行列を取り，スカラーという単純な数を計算する．この数が何を意味するかを理解するには，行列の各列を取り，それをベクトルとして描けばよい．これらのベクトルによって描かれた平行四辺形には面積があり，これが行列式である．すべての２×２行列に対して、式は簡単です。 det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle ﾞ\det ﾞ\left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}right)=ad-bc}. {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

3x3の行列の場合、式はもっと複雑です。det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle ﾃﾞﾄ ﾚﾌﾄ({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})} {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

大きな行列の行列式のための簡単な公式はなく、多くのコンピュータプログラマーは、コンピュータに大きな行列式を素早く見つけさせる方法を研究しています。

行列式の性質

すべての決定論者が従う3つのルールがある。これらは

  • 同一性行列の行列式は 1
  • 行列の2つの行または2つの列が交換された場合，行列式は-1を乗算します．数学者はこれを交替と呼ぶ。
  • ある行または列のすべての数に別の数nを掛けた場合、行列式はnを掛けたものとなる。また、ある行列Ｍが、２つの列の行列ｖ 1 {\displaystyle v_{1}}{\displaystyle v_{1}}とｖ 2 {\displaystyle v_{2}}の和である列ｖを持つとすると{\displaystyle v_{2}}この２つの条件を多線性と呼ぶ。

も参照してください。

  • 線形代数
  • 数値線形代数

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質問と回答

Q:行列とは何ですか?


A:行列とは、行と列に並べられた数値の長方形のことです。行はそれぞれ左から右（水平）線、列は上から下（垂直）に進みます。

Q:行列はどのように表現されるのですか?


A:行列は、A、B、Cのような大文字のローマ字で表現されることが多いです。

Q:2つの行列を掛け合わせるとどうなるのでしょうか?


A:積ABがBAと同じ結果になるとは限らないので、普通の数字の掛け算とは違います。

Q:行列は2つ以上の次元を持つことができますか?


A:はい、行列は3次元行列のように2次元以上の次元を持つことができます。また、1つの行や列のような1次元のものもあります。

Q:行列はどこで使われるのですか?


A:行列は、多くの自然科学、コンピュータサイエンス、工学、物理学、経済学、統計学で使用されています。

Q:大学ではいつ行列の講義をするのですか?


A:大学では、行列（通常、線形代数と呼ばれます）についての講義は、非常に早い時期（場合によっては1年目）に行われます。

Q:行列を足したり引いたりすることは可能ですか?


A:はい。行列の足し算と引き算のルールはありますが、普通の数のルールとは異なります。

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