代数的構造とは：マグマ・半群・モノイド・群・環・体の定義と例

代数的構造の定義と豊富な具体例をやさしく解説：マグマ・半群・モノイド・群・環・体の特徴と違いを図で理解。

数学では、代数構造とは、それに1つ、2つ以上の2値演算を施した集合のことである^{[説明が必要]。}

1つの2進数演算を持つ基本的な代数構造は以下の通りです。

• マグマ

2進法のセット。

• 半群

連想演算を行う集合

• モノイド

アイデンティティ要素を持つ半グループ

• グループ

各要素が対応する逆要素を持つモノイド

• 可換群

可換操作を持つ群

二項演算を持つ基本的な代数構造は以下の通りです。

• リング

2つの演算を持つ集合で、しばしば加算と乗算と呼ばれる。加算の操作を持つ集合は可換群を形成し、乗算の操作を持つ集合は半群を形成する（多くの人は、乗算の操作を持つ集合が実際にはモノイドであるように環を定義する）。環の中の加算と乗算は、分布的性質

• 可換環

乗算が可換的な環

• フィールド

乗算を伴う集合が群である可換環。

例としては、以下のようなものがあります。

用語と基本的性質の補足

上の記述を読みやすくするために、まずいくつかの基本的な用語を整理します。

• 二項演算（二項演算子）：集合の2つの要素を取り、別の要素を返す写像。記号的には *: S × S → S の形。
• 閉包性（閉じていること）：任意の a, b ∈ S に対し a * b ∈ S であること。
• 結合律（非可換でも良い）： (a * b) * c = a * (b * c) が全ての a,b,c に成り立つ場合、演算は結合的（=連想的）である。
• 単位元（恒等元・アイデンティティ）：e ∈ S が存在して全ての a ∈ S について e * a = a * e = a となること。
• 逆元：ある a の逆元 a^{-1} が存在して a * a^{-1} = a^{-1} * a = e となること。
• 可換性（交換律）： a * b = b * a が全ての a,b に成り立つとき可換（アーベル）である。
• 分配律：加法と乗法のように2つの演算がある場合、乗法が加法に対して分配的（a(b + c) = ab + ac など）であること。

各代数構造の定義と具体例

マグマ（magma）

定義：集合 S と二項演算 * があって閉包性だけを要求する構造 (S, *)。結合律や単位元、逆元は要らない。

例：整数 Z と差を考える (Z, −) はマグマ（閉じているが結合則を満たさない）。要素集合に任意の二項演算を定義すればマグマになる。

半群（semigroup）

定義：結合律を満たすマグマ。つまり (S, *) で任意の a,b,c ∈ S に対して (a*b)*c = a*(b*c) が成り立つ。

例：(N, +)（自然数の加法）、(文字列集合, 連結)（文字列の連結は結合的）など。

モノイド（monoid）

定義：単位元を持つ半群。すなわち結合律と恒等元 e が存在する。

例：(N, +, 0)、(Σ*, 連結, 空文字)（全ての有限文字列の集合と連結演算）、正方行列全体 M_n(R) は乗法に関して単位行列を持つモノイド（ただし乗法は可換ではない）。

群（group）

定義：各要素が逆元を持つモノイド。明示的には (G, *) で結合律、単位元 e、任意の a ∈ G に対する逆元 a^{-1} が存在する。

例：(Z, +)（整数の加法は単位元0で逆元は負数）、(R\{0}, ×)（非零実数の乗法）、対称群 S_n（順列の合成）は典型的な群の例。

可換群（abelian group）

定義：群であって演算が可換であるもの。

例：(Z, +)、(R, +)、有限次元ベクトル空間におけるベクトルの加法など。

環（ring）

定義：集合 R に二つの演算（通常「加法」と「乗法」と呼ぶ）があり、(R, +) は可換群、(R, ·) は半群（多くは単位元1を持つことを要求して単位的環と呼ぶ）、さらに乗法は加法に関して左右分配的である。

注意：文献により「乗法の単位元を要求する」かどうかで定義が分かれる。単位元を持つ場合は「単位的（有単位）環」と言う。

例：整数全体 Z は有名な環（加法の群、乗法は結合的で単位元1を持つが逆元は一般には存在しない）。多項式環 R[x]、行列環 M_n(R)（n×n行列全体は乗法が可換でない非可換環の代表）など。

可換環（commutative ring）

定義：環で乗法が可換であるもの。

例：Z、Q、R、C、有限体 Z/pZ（pは素数）、多項式環 K[x]（係数体 K が可換ならば可換環）など。

体（field）

定義：可換環であって、0 でない任意の元が乗法に関して逆元を持つ（つまり非零元全体が乗法群をなす）もの。

例：有理数 Q、実数 R、複素数 C、有限体 GF(p)=Z/pZ（pは素数）など。有限体は位数が素冪となるという性質がある。

追加の重要概念

• 零因子（ゼロ除算子）：環 R の 0 ≠ a, 0 ≠ b に対して ab = 0 となるとき、a,b は零因子と呼ばれる。零因子が存在しない可換環は整域（integral domain）と呼ばれる。体は整域の特別な例である。
• 可逆元（単元）：環 R において逆元を持つ元を単元という。体では 0 を除くすべての元が単元である。
• 標数（characteristic）：加法の単位元 1 を何回足すと 0 になるかの最小正整数 n（存在すれば）を標数と呼ぶ。例えば Z は標数0、Z/pZ は標数 p。

実用的な視点と注意点

• 同じ名前の構造でも定義の細部（単位元の有無、乗法の結合性や単位元の要求など）は文献により異なることがある。論文や教科書で定義を確認するのが重要です。
• 多くの代数的構造は「例」と「反例」を通じて理解が深まります。行列環の非可換性や Z が体でないこと、Z/pZ が体になるのは p が素数のときだけ、などはよく出るポイントです。

以上が、マグマ・半群・モノイド・群・可換群・環・可換環・体とそれらに関連する基本的な概念と代表的な例の概観です。必要であれば各構造ごとにより形式的な公理系や証明例（単位元の存在の扱い、同型定理、イデアルと商環、群作用など）を追加して説明します。

質問と回答

Q:代数的構造とは何ですか?

Q:1つの二項演算を持つ基本的な代数的構造とは何ですか?

Q:2項演算を持つ基本的な代数構造とは?

Q:マグマ（数学）とは何ですか?

Q:半群とは何ですか?

Q:ある演算が可換であるとはどういう意味ですか?

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