代数多様体

数学では、代数的変種変種とも呼ばれる)は代数幾何学の中心的な研究対象の一つである。代数的多様体の最初の定義は、実数または複素数上の多項式方程式の解の集合であると定義した。現代の代数的多様性の定義はこの概念を一般化し、元の定義の背後にある幾何学的直観を維持しようとしている。

代数的多様体の定義に関する慣習は様々である。ある著者は、「代数的多様体」は、定義上、不可逆的であること(つまり、ザリスキ位相幾何学上で閉じている2つの小さな集合の和ではないこと)を要求しているが、そうではない著者もいる。前者の場合、非可逆的な代数的変種は代数集合と呼ばれる。

多様性の概念は多様体の概念と似ています。多様体と多様体の違いは、多様体には特異点があるかもしれないが、多様体にはないということである。1800年頃に証明された代数学の基本定理は、複素係数を持つ1つの変数の単項多項式(代数学的対象)が、その根の集合(幾何学的対象)によって決定されることを示すことによって、代数学幾何学の間のリンクを確立した。この結果を一般化したヒルベルトのNullstellensatzは、多項式環の理想と代数的集合の間の基本的な対応関係を提供する。Nullstellensatzとそれに関連する結果を用いて、数学者は代数集合に関する問題と環論の問題との間の強い対応関係を確立した。この対応関係こそが、幾何学の他のサブ領域の中での代数幾何学の特徴である。



 ツイストキュービックは射影代数変種である。Zoom
ツイストキュービックは射影代数変種である。

質問と回答

Q:代数多様体とは何ですか?


A:代数多様体は、代数幾何学の中心的な研究対象の一つです。実数または複素数上の多項式方程式の解の集合として定義されます。

Q:現代の定義は、元の定義とどう違うのですか?


A:現代の定義は、元の定義の背後にある幾何学的直観を維持しつつ、それを一般化しようとするものである。代数多様体」は、定義上、既約性(ザリスキトポロジーで閉じている2つの小さな集合の和でないこと)を要求する著者もいれば、そうでない著者もいます。

Q:多様体と多様体の違いは何ですか?


A:多様体は特異点を持つことがあるが、多様体は持たない。

Q:代数学の基本定理は何を証明するのか?


A:代数学の基本定理は、複素係数を持つ1変数の単項式(代数的対象)がその根の集合(幾何的対象)によって決定されることを示し、代数学と幾何学の間のリンクを確立するものである。

Q:ヒルベルトのヌルステレンサッツは何を提供するのか?


A:多項式環のイデアルと代数的集合の間の基本的な対応関係を提供するものです。

Q:この対応関係は数学者にどのように利用されてきたか?


A:数学者は、この対応関係を用いて、代数的集合の問題と環論の問題の間に強い対応関係を確立してきた。

Q:この分野が幾何学の他の分野と異なる点は何ですか?A:代数的集合の問題と環論の問題の間に強い対応関係があることが、この分野を幾何学の他の下位分野の中でユニークなものにしています。

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