代数多様体（代数的変種）とは：定義・性質・基本定理（Nullstellensatz）入門

数学において、代数的変種（代数多様体、英: algebraic variety）は代数幾何学の中心的な研究対象の一つです。古典的には、代数的多様体は実数や複素数上の多項式方程式系の解集合として定義されました。現代の定義ではこの直観を一般化し、任意の体上やより抽象的にはスキームの言葉で扱えるようになっていますが、背後にある幾何学的な直観は変わりません。

定義上の慣習にはばらつきがあり、ある著者は「代数的多様体（変種）」に対して不可約性（irreducibility）を要求します。すなわち、その集合がザリスキ位相において二つの真に閉じた部分集合の和として表せないことを要請します。この場合、可約であっても多項式方程式の解集合であるものは一般に「代数集合（algebraic set）」と呼びます。どちらの呼称を用いるかは文脈によりますが、不可約性を要求する立場が多くの理論の基礎になります。

基本的な例と直観

• 平面上の線や円、放物線などは多項式方程式で定義される代数集合です。
• 平面曲線の中でも、分解できない（因数分解で二つ以上の曲線に分かれない）ものが代数的変種（不可約な曲線）になります。例：円は不可約、二つの直線の和は可約。
• 多様体（manifold）との違いは、代数的変種は一般に特異点（singularity）を持ち得る点です。滑らかな点だけからなるものは滑らかな代数多様体（smooth variety）と呼ばれ、微分・幾何学的手法が使えます。

ザリスキ位相と不可約性

代数集合 X を k^n 上の多項式の共通零点の集合とすると、これらの代数集合を開集合の補集合として定める位相がザリスキ位相です。ザリスキ位相は非常に粗く（開集合が少ない）多くの直感的な距離概念を持ちませんが、代数的性質と密接に対応します。X が二つの真の閉集合の和に分解できないとき、X は不可約（irreducible）であり、このとき X を（代数的）変種と呼ぶことが多いです。

座標環と写像（幾何 ⇔ 代数の対応）

アフィン代数集合 X ⊂ k^n に対して、座標環（coordinate ring）を次のように定義します：

k[X] = k[x_1, …, x_n] / I(X)。ここで I(X) は X に消える全ての多項式からなる理想です。座標環は X の代数的性質を記述する基本的な不変量で、代数的写像（多項式写像）は座標環上の代数準同型に対応します（向きが逆転する対応）。

ヒルベルトの Nullstellensatz（基本定理）

1800年代の基本定理（代数学の基本定理）が「1変数の多項式は根の集合によって決まる」ことを示したように、高次元へ拡張した重要な結果がヒルベルトのNullstellensatzです。体 k が代代代代数閉（特に k = 複素数）であるとき、Nullstellensatz は次のような対応を与えます：

• 弱い形（弱 Nullstellensatz）: k が代数閉ならば、 k[x_1,…,x_n] の極大イデアルはすべて点に対応する。具体的には、極大イデアルは (x_1 − a_1, …, x_n − a_n) の形をしており、それに対応する点 (a_1,…,a_n) は k^n の点である。
• 強い形（強 Nullstellensatz）: 任意のイデアル I に対して、I(V(I)) = √I（根元類）である。ここで V(I) は I の零点集合で、I(V(I)) はその零点集合を消すすべての多項式からなるイデアル、√I は I の根基（radical）である。別の言い方をすれば、ある多項式 f が V(I) 上で常に 0 であるならば、ある正の整数 m が存在して f^m ∈ I である。

この定理により、多項式環のイデアルと代数集合（幾何学的対象）との間に厳密な対応が得られ、幾何学的問題を環論的・代数的に取り扱える道が開かれました。Nullstellensatz は代数幾何学が「幾何学と代数の双対性」を持つことを保証する中心的な道具です。

重要な性質と概念のまとめ

• アフィン変種と射: アフィン代数集合の間の多項式写像は座標環の間の k-代数準同型に対応します（反変の対応）。
• 次元: 変種の次元はしばしばその座標環のクルル次元と一致し、関数体の超越次数とも同値です。直感的には「自由に変化できる独立な座標の数」です。
• 正則点と特異点: 点におけるヤコビ行列のランクから正則（滑らか）か特異かを判定します。特異点を持たない変種は滑らかであり、多様体理論と接続できます。
• 射影変種: 同次多項式の共通零点として定義される変種は射影空間 P^n に埋め込まれ、無限遠点や整合的性質を自然に扱えます。曲線・曲面のコンパクト化などで重要です。
• 拡大された基底体上の議論: 変種を一般の体上で考えるとき、幾何学的不可約性（代数閉体上で不可約となるか）や Galois 的な振る舞いが問題になります。

例

• 直線: k に対して x = a の形のものは一点によって定まる極大イデアルに対応します（アフィン1次元変種）。
• 円: x^2 + y^2 − 1 = 0 は不可約ならば平面上のアフィン曲線（1次元変種）。複素係数では位相的には別の振る舞いを示します。
• ノードを持つ曲線（例: y^2 = x^3 + x^2）は特異点を持つ可視的な例で、滑らかでない点の局所的な解析が必要です。

Nullstellensatz の短い解説（直観）

Nullstellensatz は、あるイデアル I が与えられたとき、その零点集合 V(I) は I が生成する多項式の「共通の幾何的条件」を表しており、逆に V(I) から I(V(I)) を取る操作はイデアルの根基（√I）に対応する、ということを断言します。つまり、ある多項式が V(I) 上で消えるという情報は、代数的にはその多項式のべき乗が I に含まれるという形で表現される、という点が核心です。

さらに発展する方向

現代の代数幾何学では、変種の概念はスキームというより一般的な枠組みに拡張されます。スキーム理論により、整数環上や特異な基底上でも同様の技法が使えるようになり、数論的問題（代数幾何と数論の融合）やモジュライ理論、ホッジ理論など多くの分野と結びつきます。

まとめると、代数的変種（代数多様体）は代数方程式の解集合としての直観に基づく幾何学的対象であり、ヒルベルトのNullstellensatzをはじめとする基本定理群によって代数的手法と強く結びついています。これにより、幾何学的問題を環論や体論の言葉で扱える強力な理論が成り立ちます。

質問と回答

Q:代数多様体とは何ですか?

Q:現代の定義は、元の定義とどう違うのですか?

Q:多様体と多様体の違いは何ですか?

Q:代数学の基本定理は何を証明するのか?

Q:ヒルベルトのヌルステレンサッツは何を提供するのか?

Q:この対応関係は数学者にどのように利用されてきたか?

文字で検索