代数幾何学
代数幾何学は、多項式方程式を研究する数学の一分野である。現代の代数幾何学は、抽象代数、特に可換代数のより抽象的な技法に、幾何学の言語と問題点を加えたものである。
代数幾何学の主な研究対象は、多項式方程式の系の解の集合の幾何学的な現れである代数的変種である。最も研究されている代数的多様体のクラスの例としては、直線、円、放物線、楕円、双曲線、楕円曲線のような3次曲線、レムニスケートのような4次曲線、カッシーニ楕円などの平面代数的曲線が挙げられる。平面の点は、その座標が与えられた多項式を満たす場合、代数曲線に属する。基本的な問題では、特異点、変曲点、無限大の点などの特別な点の研究を行います。より高度な問題では、曲線のトポロジーと異なる方程式で与えられた曲線間の関係が出題される。
代数幾何学は現代数学の中心的な位置を占めている。代数幾何学の概念は、複素解析、位相幾何学、数論などの多様な分野と結びついています。当初、代数幾何学は、いくつかの変数の多項式方程式の系を研究することを目的としていた。代数幾何学は、方程式を解くところから始まります。多くの場合、特定の解を見つけることよりも、与えられた方程式の集合が持つすべての解の性質を見つけることの方が重要である。
20世紀になって、代数幾何学はいくつかのサブエリアに分かれました。
- 代数幾何学の主流は、代数多様体の複素点の研究であり、より一般的には代数的に閉じた場の座標を持つ点の研究に費やされています。
- 有理数の場、あるいは数の場における座標を持つ代数的多様体の点の研究は、代数的数論のサブフィールドである算術幾何学（あるいはより古典的にはディオファンティン幾何学）となった。
- 代数的多様体の実点の研究は、実質代数幾何学の学問である。
- 特異点理論の大部分は代数的多様体の特異点に費やされています。
- コンピュータが一般的になると、「計算代数幾何学」という分野が発展しました。この分野は代数幾何学と計算機代数学の交点に注目しています。明示的に与えられた代数的多様体の性質を研究したり、見つけたりするためのアルゴリズムやソフトウェアの開発に関係しています。
20 世紀の代数幾何学の主要な発展の多くは抽象代数的な枠組みの中で起こり、代数的多様体の「内在的」な性質に重点が置かれるようになった。トポロジー、微分幾何学、複素幾何学の発展も同様であった。この抽象代数幾何学の重要な成果の一つは、 Grothendieckのスキーム理論である。古典的な代数幾何学では、アフィン多様体の点は、ヒルベルトのNullstellensatzにより、座標環の最大理想と同定され、対応するアフィンスキームの点はすべてこの環の素理想である。これは、このようなスキームの点は、通常の点であっても、部分変量であってもよいことを意味します。このアプローチは、複素点を中心とした古典代数幾何学と代数的数論の言語と道具を統一することも可能である。ワイルズのフェルマーの最後の定理と呼ばれる長年の推測の証明は、このアプローチの威力の一例である。
このトリアッティ曲面は次数5の代数曲面である。図はその実軌跡の一部を表している。
質問と回答
Q:代数幾何学とは何ですか?
A:代数幾何学は、多項式を研究する数学の一分野です。
Q:現代の代数幾何学ではどのような手法が使われているのですか?
A:現代代数幾何学では、可換環論のような抽象代数学の技法を用いて、幾何学の言語と問題に取り組んでいます。
Q:代数幾何学はどのような方程式を研究するのか?
A:代数幾何学では、多項式を扱います。
Q:抽象代数はどのように使うのか?
A:抽象代数学、特に可換環論を使って、幾何学に関連する言語や問題を理解します。
Q:この分野で使われる言語の種類は決まっているのですか?
A:はい、現代の代数幾何学では、幾何学に関連する言語と問題を使います。
Q:現代の技術はこの分野にどのような影響を及ぼしているのでしょうか?
A:現代の技術は、この分野の多項式方程式の研究に、抽象代数学のより高度な技術を利用することを可能にしました。
