決定要因

正方行列の行列式は,その行列がどのように振る舞うかを示すスカラー(数値)です.行列式は,行列の中の数値から計算することができます.

"The determinant of matrix A {DETRINANT OF A {displaystyle A}{\displaystyle A}"det ( A ) {\displaystyle \det(A)} {\displaystyle \det(A)}or | A | {\displaystyle | A|}{\displaystyle |A|} in a formula.時々、 det ( [ {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)}a b c d ] ) の代わりに {\displaystyle ゙\det ゙\left({begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}right}と{\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|}書くだけでいいのよ det [ a b c c d ] {\displaystyle \det {begegin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}} and | a{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}} b c c d | {displaystyle ¶left|{\begin{matrix}a&b\c&d\end{matrix}}right|} .

解釈

行列式が行列について何を言っているのかを理解するには、いくつかの方法があります。

幾何学的解釈

n × n {displaystyle n\times n}の{\displaystyle n\times n}行列は、n {displaystyle n}n次元の線形マップを記述していると見ることができる。この場合、行列式は、この行列が n {displaystyle n} n次元の空間の領域を拡大(成長または縮小)する要因を示す。

例えば、2×2 {\displaystyle 2times 2} の{\displaystyle 2\times 2}行列A {\displaystyle A}。{\displaystyle A}は2次元空間の正方形を 平行四辺形にするその平行四辺形の面積は 正方形の面積の1倍の det ( A ) {\displaystyle \det(A)}{\displaystyle \det(A)}倍になる。

同じように、3×3 {\displaystyle 3Times 3}の{\displaystyle 3\times 3}行列B {\displaystyle B{\displaystyle B}}を線形マップとして見ると、3次元空間の立方体が平行六面体になる。その平行パイプの体積は、立方体の体積の1倍の det ( B ) {\displaystyle \det(B)}{\displaystyle \det(B)}倍になる。

行列式は負の値にすることができます。線形マップは体積を伸ばしたり拡大縮小したりすることができますが、軸上に反射させることもできます。これが起こるたびに、行列式の符号は正から負へ、または負から正へと変化します。負の行列式は、ボリュームが奇数の軸上にミラーリングされたことを意味します。

"方程式系」の解釈

行列は一次方程式の系を記述するものとして見ることができます.この系は,行列式が0ではない場合に,一意の非自明解を持ちます.(非自明解とは,解がすべてのゼロだけではないことを意味します.)

行列式がゼロの場合、一意の非自明解が存在しないか、無限に存在するかのいずれかである。




特異行列

行列式が 0 ではないとき、行列は正確には逆行列を持つ。このため、行列式が 0 でない行列は行列と呼ばれます。行列式が 0 の場合、その行列は非可逆行列または特異行列と呼ばれます。

幾何学的には、特異行列は平行四辺形を平行四辺形に、平行四辺形を線に「平らにする」と考えることができます。そうすると、体積や面積は0になり、昔の形に戻る直線地図はありません。

行列式の計算

行列式を計算する方法はいくつかあります。

小さな行列のための公式

  • 1×1{\displaystyle 1\times 1}2×2の{\displaystyle 2\times 2}行列なら 式を覚えればいい。

det [a] = a , det [a b c d] = a d - b c .♪♪ ♪ ♪♪ ♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪} {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}

  • 3 × 3 {displaystyle 3times 3}{\displaystyle 3\times 3}行列の場合、式は次のようになる。

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b b i {\displaystyle {det {begin{bmatrix}a&&a&ab&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

この公式を覚えておくと、ルールオブサルス(画像参照)を使うことができます。

補因子の拡張

より大きな行列の場合、行列式の計算が難しくなります。その方法の一つが補因子展開と呼ばれるものです。

例えば、n × n {\displaystyle n\times n} の{\displaystyle n\times n}行列 A {\displaystyle A{\displaystyle A}} があるとしよう。まず、行列の任意の行か列を選択する。その行または列にある各数値{\displaystyle a_{ij}}a i j {displaystyle a_{ij}}に対して、その補因子呼ばれるものを計算する。{\displaystyle C_{ij}}.とすると det ( A ) = ∑ a i j c i j {\display style デッテ(A)=sum a_{ij}C_{ij}}.{\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}.

このような補因子C i j {displaystyle C_{ij}}を計算するには{\displaystyle A}{\displaystyle C_{ij}}{\displaystyle j}行列から、行 i {displaystyle i}{\displaystyle i}と列 j {displaystyle j}を消す。そうすると、より小さな(n - 1)×(n - 1) {\displaystyle (n-1)Times (n-1)}{\displaystyle (n-1)\times (n-1)}行列ができる。これをM {displaystyle M{\displaystyle M}}と呼ぶ。{\displaystyle C_{ij}}そして、補因子C i j {\displaystyle C_{ij}}は、( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}det(M)}{\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)}に等しい

ここでは、3×3 {\displaystyle 3times 3}{\displaystyle 3\times 3}行列の左列の補因子展開の例を示します。

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 C 11 + 2 C 21 + 0 C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) )+ ( 2 ⋅( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) )+ ( 0 ⋅( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 1 1 ) + ( 2 ⋅( - 1 )⋅ 6 )+ 0 = − 11.♪begegin{aligned}det{begegin{bmatrix}}1}&3&2&2\\\color{red}2}&1&1&1\\\color{red}0}&3&4\end{bmatrix}}&2=C_{11}+{11}+{red}2}cdot C_{21}+{21}+{red}0}cdot C_{31}31 }\&=left({{color {red}1}cdot (-1)^{1+1}det {begin{bmatrix}1&1&1&3&4end{bmatrix}3&1&14end{bmatrix}right) +\left({\color {red}2}cdot (-1) ^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2&4end{bmatrix}right) +\left({\color {red}0}\cdot (-1) ^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&4end{bmatrix}right) +\left({\color {red}0}\cdot (-1) ^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&4det}+\begin{bmatrix}3&4end{bmatrix}right)2&1&1end{bmatrix}right)Available\11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}}

このように、ゼロの多い行や列を選択することで、作業を省くことができる。a i j {displaystyle a_{ij}}{\displaystyle a_{ij}}が0ならば、C i j {displaystyle C_{ij}を計算する必要はない。}{\displaystyle C_{ij}}.




関連ページ

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