行列式とは：定義・計算方法・性質を例題でわかりやすく解説

行列式とは：定義から計算方法、性質を例題で丁寧に解説。初心者でも理解できるステップで行列の本質を習得。

著者: Leandro Alegsa

20-12-2025 23:37

正方行列の行列式（determinant）は、その行列がどのように空間を伸縮・反転させるかを表す1つのスカラー値です。行列式は行列の成分から計算でき、線形方程式の解の有無（可逆性）や幾何学的な体積変化率を示します。

記法

行列 A の行列式は一般に det(A) や |A| と書きます。例えば次のような表記があります：det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ or | A | {\displaystyle | A|} $|A|$ 。例えば2×2行列の記法は次のようになります： $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$

基本的な定義（2×2, 3×3）

2×2行列 A = [[a, b], [c, d]] の場合、
det(A) = ad − bc。
3×3行列 A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]] の場合、サラスの方法（Sarrusの規則）により、
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)。

一般式（置換による定義）

n×n行列 A=(a_{ij}) の行列式は置換の符号を用いて次のようにも定義できます。

det(A) = Σ_{σ∈S_n} sgn(σ) ∏_{i=1}^n a_{i,σ(i)}

ここで S_n は {1,...,n} の全ての順列集合、sgn(σ) は順列の符号（偶置換なら +1、奇置換なら −1）です。

計算方法（実務的な手順）

小さい行列（2×2, 3×3）は上記の公式で直接計算します。
一般の n×n 行列は以下の方法で計算すると効率的です。
- ラプラス展開（余因子展開）：任意の行または列に沿って展開して、より小さい行列式に帰着させる方法。要素が多くゼロを含む列・行で展開すると効率的です。
- 行基本変形（ガウス消去）を使う方法：行列を上三角行列（あるいは正規形）に変形し、対角要素の積に変換する。ただし、行交換を行うと行列式の符号が反転し、行を定数倍すると行列式も同じ定数で倍される点に注意します（下に詳細）。
- LU分解：A = PLU（Pは置換行列、Lは下三角行列、Uは上三角行列）と分解できれば、det(A) = det(P)·det(L)·det(U)。Lの対角は通常1なので det(L)=1、det(P)=±1、det(U) は対角成分の積です。これにより効率よく計算できます。

行基本変形と行列式の取り扱い

ある行と別の行を入れ替えると、行列式は符号が反転します：A の行を交換 → det は −det。
ある行を c 倍すると、行列式は c 倍されます（1行だけを c 倍すると det が c 倍）。行全体を c 倍する操作を n 回行うと det は c^n 倍になる点に注意。
ある行に別の行の定数倍を加えても（Ri ← Ri + k·Rj）、行列式は変わりません。
これらを利用してガウス消去で上三角行列に変形し、対角成分の積に行交換で生じた −1 の乗（行交換回数）やスケーリングを掛け合わせて元の行列式を求めます。

主な性質（覚えておくべき公式）

積の行列式：det(AB) = det(A)·det(B)。
転置：det(A^T) = det(A)。
可逆性：A が可逆 ⇔ det(A) ≠ 0。さらに A^{-1} が存在する場合 det(A^{-1}) = 1 / det(A)。
スカラー倍：定数 c を n×n 行列 A のすべての行（または列）に掛けると det(cA) = c^n det(A)。
三角行列（上三角・下三角・対角行列）：対角成分の積が行列式です。 det = ∏_{i=1}^n a_{ii} 。
行列式の線型性：各行（または列）は他の行を固定したときにその行に関して一次関数（線形）です。ただし、全体としては多重線形で符号付きの対称性を持ちます。
行が線形従属：行（または列）が線形従属なら、その行列式は0になります（体積が0）。

幾何学的な解釈

n×n 行列 A は R^n のベクトルを別のベクトルに線形写像します。行列式 |det(A)| は単位立方体がその写像でどう拡大・縮小されるか（体積の拡大率）を表し、det(A) の符号は向き（オリエンテーション）が保たれるか反転するかを示します。

例題：2×2 と 3×3 の計算

例1（2×2）
A = [[3, 5], [2, 7]] のとき、
det(A) = 3·7 − 5·2 = 21 − 10 = 11。
例2（3×3、サラス）
A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] のとき、
det(A) = 1(5·9 − 6·8) − 2(4·9 − 6·7) + 3(4·8 − 5·7)
= 1(45 − 48) − 2(36 − 42) + 3(32 − 35)
= 1(−3) − 2(−6) + 3(−3) = −3 + 12 − 9 = 0。
（この行列の行は線形従属なので行列式は0になります。）

実際の計算のコツ

ゼロが多い列や行を見つけてラプラス展開する。
ガウス消去で上三角にする際は、行交換の回数と各行のスカラー操作の影響を記録しておく。LU分解を使えば自動で処理できます。
数値計算では大きな行列の行列式はオーバーフロー・アンダーフローしやすいため、対数(det) を扱うことやピボット選択を行うことが実務上有効です。

行列式は線形代数の基本的かつ強力な道具で、可逆性判定、固有値問題、体積計算、座標変換など幅広い応用があります。必要があれば、具体的な行列を一つ挙げてステップごとに計算する例を追加で示します。

解釈

行列式が行列について何を言っているのかを理解するには、いくつかの方法があります。

幾何学的解釈

n × n {displaystyle n\times n}の $n\times n$ 行列は、n {displaystyle n}次元の線形マップを記述していると見ることができる。この場合、行列式は、この行列が n {displaystyle n} 次元の空間の領域を拡大（成長または縮小）する要因を示す。

例えば、２×２ {\displaystyle 2times 2} の $2\times 2$ 行列A {\displaystyle A}。 $A$ は２次元空間の正方形を平行四辺形にするその平行四辺形の面積は正方形の面積の1倍の det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ 倍になる。

同じように、３×３ {\displaystyle 3Times 3}の $3\times 3$ 行列B {\displaystyle B $B$ }を線形マップとして見ると、３次元空間の立方体が平行六面体になる。その平行パイプの体積は、立方体の体積の１倍の det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ 倍になる。

行列式は負の値にすることができます。線形マップは体積を伸ばしたり拡大縮小したりすることができますが、軸上に反射させることもできます。これが起こるたびに、行列式の符号は正から負へ、または負から正へと変化します。負の行列式は、ボリュームが奇数の軸上にミラーリングされたことを意味します。

"方程式系」の解釈

行列は一次方程式の系を記述するものとして見ることができます．この系は，行列式が0ではない場合に，一意の非自明解を持ちます．(非自明解とは，解がすべてのゼロだけではないことを意味します．)

行列式がゼロの場合、一意の非自明解が存在しないか、無限に存在するかのいずれかである。

For a 2 × 2 × 2 {displaystyle 2times 2} $2\times 2$ matrix [a c b d ] {displaystyle {begin{bmatrix}a&c ♪\b&d ♪\end{bmatrix}}} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } ${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ の場合、行列式は平行四辺形の面積である。(面積は a d - b c {\displaystyle ad-bc} $ad-bc$ に等しい)

特異行列

行列式が 0 ではないとき、行列は正確には逆行列を持つ。このため、行列式が 0 でない行列は逆行列と呼ばれます。行列式が 0 の場合、その行列は非可逆行列または特異行列と呼ばれます。

幾何学的には、特異行列は平行四辺形を平行四辺形に、平行四辺形を線に「平らにする」と考えることができます。そうすると、体積や面積は0になり、昔の形に戻る直線地図はありません。

行列式の計算

行列式を計算する方法はいくつかあります。

小さな行列のための公式

１×１ $1\times 1$ と２×２の $2\times 2$ 行列なら式を覚えればいい。

det [a] = a , det [a b c d] = a d - b c .♪♪ ♪ ♪♪ ♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪} $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

3 × 3 {displaystyle 3times 3} $3\times 3$ 行列の場合、式は次のようになる。

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b b i {\displaystyle {det {begin{bmatrix}a&&a&ab&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

この公式を覚えておくと、ルールオブサルス（画像参照）を使うことができます。

補因子の拡張

より大きな行列の場合、行列式の計算が難しくなります。その方法の一つが補因子展開と呼ばれるものです。

例えば、n × n {\displaystyle n\times n} の $n\times n$ 行列 A {\displaystyle A $A$ } があるとしよう。まず、行列の任意の行か列を選択する。その行または列にある各数値 $a_{ij}$ a i j {displaystyle a_{ij}}に対して、その補因子と呼ばれるものを計算する。 $C_{ij}$ .とすると det ( A ) = ∑ a i j c i j {\display style ﾃﾞｯﾃ(A)=sum a_{ij}C_{ij}}. $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

このような補因子C i j {displaystyle C_{ij}}を計算するには $A$ $C_{ij}$ の $j$ 行列から、行 i {displaystyle i} $i$ と列 j {displaystyle j}を消す。そうすると、より小さな（n - 1）×（n - 1） {\displaystyle (n-1)Times (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ の行列ができる。これをＭ {displaystyle M $M$ }と呼ぶ。 $C_{ij}$ そして、補因子C i j {\displaystyle C_{ij}}は、( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ に等しい。

ここでは、３×３ {\displaystyle 3times 3} $3\times 3$ 行列の左列の補因子展開の例を示します。

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) )+ ( 2 ⋅( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) )+ ( 0 ⋅( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅( - 1 )⋅ 6 )+ 0 = − 11.♪begegin{aligned}det{begegin{bmatrix}}1}&3&2&2\\\color{red}2}&1&1&1\\\color{red}0}&3&4\end{bmatrix}}&2=C_{11}+{11}+{red}2}cdot C_{21}+{21}+{red}0}cdot C_{31}31 }\&=left({{color {red}1}cdot (-1)^{1+1}det {begin{bmatrix}1&1&1&3&4end{bmatrix}3&1&14end{bmatrix}right) +\left({\color {red}2}cdot (-1) ^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2&4end{bmatrix}right) +\left({\color {red}0}\cdot (-1) ^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&4end{bmatrix}right) +\left({\color {red}0}\cdot (-1) ^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&4det}+\begin{bmatrix}3&4end{bmatrix}right)2&1&1end{bmatrix}right)Available\11. ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

このように、ゼロの多い行や列を選択することで、作業を省くことができる。a i j {displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ が0ならば、C i j {displaystyle C_{ij}を計算する必要はない。} $C_{ij}$ .

3 × 3 {displaystyle 3times 3 $3\times 3$ }の行列式は積の和である。これらの積は、行列の先頭に"回り込む"対角線に沿って進む。このトリックは、サラスの法則と呼ばれている。

質問と回答

Q:行列式とは何ですか?

A:行列式とは、正方行列がどのように振る舞うかを示すスカラー（数値）です。

Q:行列の行列式はどのように計算するのですか?

A:行列の行列式は、行列の中の数値から計算できます。

Q:行列の行列式はどのように書かれるのですか?

A:行列の行列式は、式中では det(A) または｜A｜と表記されます。

Q: 行列式を書き出す他の方法はありますか?

A:はい，det([a b c d])や｜[a b c d]｜の代わりに，単にdet [a b c d]や｜[a b c d]｜と書くことができます．

Q:「スカラー」というのはどういう意味ですか?

A:スカラーとは、大きさはあるが方向が関連付けられていない個々の数値や数量のことである。

Q:正方行列とは何ですか?

A:正方行列とは、2x2や3x3のような、行と列の数が等しい行列のことです。

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