行列式

正方行列の行列式は，その行列がどのように振る舞うかを示すスカラー（数値）です．行列式は，行列の中の数値から計算することができます．

"The determinant of matrix A {DETRINANT OF A {displaystyle A} $A$ "は det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ or | A | {\displaystyle | A|} $|A|$ in a formula.時々、 det ( [ $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ a b c d ] ) の代わりに {\displaystyle ﾞ\det ﾞ\left({begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}right}と $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ と書くだけでいいのよ det [ a b c c d ] {\displaystyle \det {begegin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}} and | a $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ b c c d | {displaystyle ¶left|{\begin{matrix}a&b\c&d\end{matrix}}right|} .

解釈

行列式が行列について何を言っているのかを理解するには、いくつかの方法があります。

幾何学的解釈

n × n {displaystyle n\times n}の $n\times n$ 行列は、n {displaystyle n}次元の線形マップを記述していると見ることができる。この場合、行列式は、この行列が n {displaystyle n} 次元の空間の領域を拡大（成長または縮小）する要因を示す。

例えば、２×２ {\displaystyle 2times 2} の $2\times 2$ 行列A {\displaystyle A}。 $A$ は２次元空間の正方形を平行四辺形にするその平行四辺形の面積は正方形の面積の1倍の det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ 倍になる。

同じように、３×３ {\displaystyle 3Times 3}の $3\times 3$ 行列B {\displaystyle B $B$ }を線形マップとして見ると、３次元空間の立方体が平行六面体になる。その平行パイプの体積は、立方体の体積の１倍の det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ 倍になる。

行列式は負の値にすることができます。線形マップは体積を伸ばしたり拡大縮小したりすることができますが、軸上に反射させることもできます。これが起こるたびに、行列式の符号は正から負へ、または負から正へと変化します。負の行列式は、ボリュームが奇数の軸上にミラーリングされたことを意味します。

"方程式系」の解釈

行列は一次方程式の系を記述するものとして見ることができます．この系は，行列式が0ではない場合に，一意の非自明解を持ちます．(非自明解とは，解がすべてのゼロだけではないことを意味します．)

行列式がゼロの場合、一意の非自明解が存在しないか、無限に存在するかのいずれかである。

For a 2 × 2 × 2 {displaystyle 2times 2} $2\times 2$ matrix [a c b d ] {displaystyle {begin{bmatrix}a&c ♪\b&d ♪\end{bmatrix}}} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } ${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ の場合、行列式は平行四辺形の面積である。(面積は a d - b c {\displaystyle ad-bc} $ad-bc$ に等しい)

特異行列

行列式が 0 ではないとき、行列は正確には逆行列を持つ。このため、行列式が 0 でない行列は逆行列と呼ばれます。行列式が 0 の場合、その行列は非可逆行列または特異行列と呼ばれます。

幾何学的には、特異行列は平行四辺形を平行四辺形に、平行四辺形を線に「平らにする」と考えることができます。そうすると、体積や面積は0になり、昔の形に戻る直線地図はありません。

行列式の計算

行列式を計算する方法はいくつかあります。

小さな行列のための公式

１×１ $1\times 1$ と２×２の $2\times 2$ 行列なら式を覚えればいい。

det [a] = a , det [a b c d] = a d - b c .♪♪ ♪ ♪♪ ♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪} $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

3 × 3 {displaystyle 3times 3} $3\times 3$ 行列の場合、式は次のようになる。

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b b i {\displaystyle {det {begin{bmatrix}a&&a&ab&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

この公式を覚えておくと、ルールオブサルス（画像参照）を使うことができます。

補因子の拡張

より大きな行列の場合、行列式の計算が難しくなります。その方法の一つが補因子展開と呼ばれるものです。

例えば、n × n {\displaystyle n\times n} の $n\times n$ 行列 A {\displaystyle A $A$ } があるとしよう。まず、行列の任意の行か列を選択する。その行または列にある各数値 $a_{ij}$ a i j {displaystyle a_{ij}}に対して、その補因子と呼ばれるものを計算する。 $C_{ij}$ .とすると det ( A ) = ∑ a i j c i j {\display style ﾃﾞｯﾃ(A)=sum a_{ij}C_{ij}}. $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

このような補因子C i j {displaystyle C_{ij}}を計算するには $A$ $C_{ij}$ の $j$ 行列から、行 i {displaystyle i} $i$ と列 j {displaystyle j}を消す。そうすると、より小さな（n - 1）×（n - 1） {\displaystyle (n-1)Times (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ の行列ができる。これをＭ {displaystyle M $M$ }と呼ぶ。 $C_{ij}$ そして、補因子C i j {\displaystyle C_{ij}}は、( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ に等しい。

ここでは、３×３ {\displaystyle 3times 3} $3\times 3$ 行列の左列の補因子展開の例を示します。

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) )+ ( 2 ⋅( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) )+ ( 0 ⋅( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅( - 1 )⋅ 6 )+ 0 = − 11.♪begegin{aligned}det{begegin{bmatrix}}1}&3&2&2\\\color{red}2}&1&1&1\\\color{red}0}&3&4\end{bmatrix}}&2=C_{11}+{11}+{red}2}cdot C_{21}+{21}+{red}0}cdot C_{31}31 }\&=left({{color {red}1}cdot (-1)^{1+1}det {begin{bmatrix}1&1&1&3&4end{bmatrix}3&1&14end{bmatrix}right) +\left({\color {red}2}cdot (-1) ^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2&4end{bmatrix}right) +\left({\color {red}0}\cdot (-1) ^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&4end{bmatrix}right) +\left({\color {red}0}\cdot (-1) ^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&4det}+\begin{bmatrix}3&4end{bmatrix}right)2&1&1end{bmatrix}right)Available\11. ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

このように、ゼロの多い行や列を選択することで、作業を省くことができる。a i j {displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ が0ならば、C i j {displaystyle C_{ij}を計算する必要はない。} $C_{ij}$ .

3 × 3 {displaystyle 3times 3 $3\times 3$ }の行列式は積の和である。これらの積は、行列の先頭に"回り込む"対角線に沿って進む。このトリックは、サラスの法則と呼ばれている。

質問と回答

Q:行列式とは何ですか?

A:行列式とは、正方行列がどのように振る舞うかを示すスカラー（数値）です。

Q:行列の行列式はどのように計算するのですか?

A:行列の行列式は、行列の中の数値から計算できます。

Q:行列の行列式はどのように書かれるのですか?

A:行列の行列式は、式中では det(A) または｜A｜と表記されます。

Q: 行列式を書き出す他の方法はありますか?

A:はい，det([a b c d])や｜[a b c d]｜の代わりに，単にdet [a b c d]や｜[a b c d]｜と書くことができます．

Q:「スカラー」というのはどういう意味ですか?

A:スカラーとは、大きさはあるが方向が関連付けられていない個々の数値や数量のことである。

Q:正方行列とは何ですか?

A:正方行列とは、2x2や3x3のような、行と列の数が等しい行列のことです。

行列式

解釈