ゼロによる除算

数学では、数を0割ることはできません。観察してください。

1.A B = C {displaystyle A*B=C} A ∗ B = C {displaystyle A*B=C}. {\displaystyle A*B=C}

B = 0ならば、C = 0となります。しかし、これは

2.A = C / B {displaystyle A=C/B} 2. {\displaystyle A=C/B}

(ここではB=0なので0で割っただけ)

と同じです。

3.A = 0 / 0 {displaystyle A=0/0} 3. {\displaystyle A=0/0}

問題は、A {a {a1pos(134,268)}{\displaystyle A}は、どんな数字でもよいということだ。A {displaystyle A}が{\displaystyle A}1であったり、10000,000,000,000であったりすればうまくいく。0/0が「不定形」と言われるのは、値が一つもないからである。一方、A/0の形の数字で、A {\displaystyle A{\displaystyle A}}が0ではないものは、"undefined"、つまり"undeterminated"と言われる。これは、それらを定義しようとすると、それ自体が未定義である無限大の値になるからである。通常、2つの数値が同じものに等しいとき、それらは互いに等しい。これは、数字を0で割ったときには、通常の数学のルールが通用しないことを意味しています。

ゼロによる除算に基づく不正解証明

代数的な引数でゼロによる除算の特殊なケースを偽装することは可能です。これにより、以下のように1=2のような無効な証明になることがあります。

以下の前提で。

0 × 1 = 0 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}}

以下の内容が真実でなければなりません。

0×1=0×2。 {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,}

ゼロで割ると

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle 》《\textstyle 》《\frac {0}{0}times 1={\frac {0}{0}times 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.}

簡素化します。

♪♪1=2. {\displaystyle 1=2.\,}

誤りは、0で割ることが0/0=1の正当な演算であるという思い込みです。

ほとんどの人は上記の「証明」が不正解だと認識すると思いますが、同じような論旨を提示することで、誤りを発見しにくくすることができます。例えば、1をxと書いた場合、x-xの後ろに0を隠し、x+xの後ろに2を隠すことができます。そうすると、上述の証明は次のように表示することができます。

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {begegin{aligned}(x-x)x=0\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}}}}}}}}}}}}。 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}}

ということで

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) .♪displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x). {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,}

x - xで割ると、次のようになります。

x = x + x {displaystyle x=x+x+x, } {\displaystyle x=x+x\,}

となり、xで割ると次のようになります。

♪♪1=2. {\displaystyle 1=2.\,}

上の「証明」は、x-xで割ると0で割ってしまうので、マイナスになる数字はすべて0になるので正しくありません。

微積分学

微積分では、上記の「不定形」も、限界を評価しながら直接代入した結果として出てきます。

コンピュータのゼロによる除算

コンピュータプログラムが整数を0で割ろうとした場合、オペレーティングシステムは通常これを検出してプログラムを停止します。通常は「エラーメッセージ」を表示したり、プログラムを改善するためのアドバイスをプログラマーに与えたりします[]。ゼロによる除算は、コンピュータプログラミングでよく見られるバグです。浮動小数点数(小数)をゼロで割ると、通常は、ゼロで割るものに応じて、無限大か特別なNaN(数ではない)値のどちらかになります。

幾何学のゼロによる除算

In geometry 1 0 = ∞ .♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪}{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .}この無限大(射影無限大)は、ゼロが正数でも負数でもないのと同じように、正数でも負数でもない。

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