代数学

歴史

代数学の初期の形式は、バビロニア人やアレキサンドリアの英雄のようなギリシャの幾何学者によって開発されました。しかし、「代数」という言葉はアラビア語のAl-Jabr（「鋳造」）のラテン語形であり、9世紀にウズベキスタンのクワリズムで生まれたペルシャ人の数学者ムハンマド・イブン・ムサール（Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī）によって書かれた数学書Al-Maqala fi Hisab-al Jabr wa-al-Muqabilah（「鋳造と方程式の計算に関するエッセイ」）に由来しています。彼はイラクのバグダードのアル・マウンのもとで西暦813年から833年まで栄え、西暦840年頃に死去した。この本はヨーロッパに持ち込まれ、12世紀にラテン語に翻訳された。その後、この本には「代数学」という名前が与えられた。(数学者の名前であるアル・クワリズミの語尾は、ラテン語で言いやすい言葉に変えられ、英単語のアルゴリズムとなった)。

例としては、以下のようなものがあります。

代数の問題の簡単な例を紹介します。

スーは12個のキャンディーを持っていて、アンは24個のキャンディーを持っています。彼らは同じ数のキャンディーを持っているように共有することにしました。それぞれ何個のキャンディーを持っているでしょうか？

以上が問題解決のためのステップです。

1. 同じ数のキャンディをもらうためには，アンはスーにいくつかのキャンディをあげなければならない．x はアンがスーにあげるキャンディーの数を表しているとしよう。
2. スーのキャンディーに x を加えたものは，アンのキャンディーから x を引いたものと同じでなければならない．12 + x = 24 - x
3. 等式の両側から12を引く。これは次のようになります: x = 12 - x. (等号の片側で起こっていることは、方程式がまだ真であるために、他の側でも起こらなければなりません。だから、このケースでは、12が両側から引かれたとき、12 + x - 12 = 24 - x - 12の中間のステップがありました。これに慣れた人は、中間のステップを書き留めないようにしています)。
4. 式の両側に x を足します。これは次のようになります：2x = 12
5. 方程式の両辺を2で割ると、x = 6となります。答えは6です。アンがスーに6個のキャンディーを与えると、2人のキャンディーの数は同じになります。
6. これを確認するために、xがあったところで6を元の式に戻してみましょう：12 + 6 = 24 - 6
7. これで18=18となります。これで彼らはそれぞれ18個のキャンディーを持っていることになります。

練習すれば、他の方法では難しい問題に直面したときに代数を使うことができます。高速道路の建設、携帯電話の設計、病気の治療法の発見など、すべての問題に代数学が必要です。

代数の書き方

数学のほとんどの部分と同様に、y（またはy plus z）にzを足すとy + zと書きます。

代数学では、yにzをかける（またはyにzをかける）ことは、y × z、y * z、y-z、または単にyzの4つの方法で書くことができます。掛け算記号の「×」は、変数としてよく使われる「x」に似すぎているので、通常は使わない。また、より大きな式を乗算する場合は、括弧を使用することができます： y (z+1)。

代数学で数字と文字を掛け合わせるとき、文字の前に数字を書きます。5 × y = 5y と書きます。数字が1の場合は、1の倍はどんな数字でもその数字（1 × y = y）なので、1は書かない。

余談ですが、代数ではxやyという文字を使う必要はありません。変数は未知の数値や値を意味する記号なので、どのような変数を使っても構いません。

関数とグラフ

代数学の重要な部分は関数の研究です。関数とは、ある数（または数）を入れて、ある数（または数）を出すことができる機械のようなものです。関数を使う場合、グラフは方程式の解を調べるのに役立つ強力なツールとなります。

グラフは、方程式や不等式を真にする変数のすべての値を示す図です。通常、変数が1つか2つしかない場合には、これを作るのは簡単です。グラフは多くの場合、直線であり、直線が上下に曲がったり、まっすぐになったりしない場合は、基本的な式 y = mx + b で記述することができます。この式はグラフの座標に適用され、線上の各点は(x, y)と書かれています。

線の方程式のような数学の問題では、複数の変数（この場合はxとy）が存在することがあります。線上の点を見つけるために、1つの変数が変更されます。変更された変数を「独立」変数と呼びます。次に、数を作るための計算を行います。作られた数を「従属」変数と呼びます。たいていの場合、独立変数はxと書き、従属変数はyと書き、例えばy = 3x + 1のようになります。これは、x軸（左右に行く）とy軸（上下に行く）を使って、しばしばグラフ上に置かれます。また、f(x) = 3x + 1という関数形式で書くこともできます。ですから、この例では、xに5を入れるとy = 16となります。xに2を入れるとy=7になります。xに0を入れるとy=1になります。したがって，右のグラフのように，点(5,16), (2,7), (0,1)を通る線があることになる。

xが1の乗であれば直線です。2乗やその他の乗の場合は曲線になります。不等式 (< または > ) を使用している場合、通常はグラフの一部が斜線になっており、線の上か下のどちらかになります。

代数のルール

代数学では、方程式をさらに理解するためのルールがいくつかあります。これらは代数学の規則と呼ばれている．これらの規則は無意味で明白に見えるかもしれませんが、これらの性質は数学のすべての枝に当てはまるわけではないことを理解しておくのが賢明です。したがって，これらの公理的な規則がどのように宣言されているかを知っておくことは，当然のことと考える前に有用である．規則に進む前に，与えられた2つの定義について考えてみましょう．

1. Opposite - the opposite of a {a {a} of a {a} is - a {a {a {a} .
2. Reciprocal - reciprocal of a {\displaystyle a} is 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}}}。.

ルール

加法の可換性

可換的」とは、関数が数値を入れ替えても同じ結果になることを意味します。つまり、式の中の項の順番は関係ないのです。2つの項の演算子が加算である場合、「加算の可換性」が適用されます。代数的には、a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} となる。

これは、引き算には適用されないことに注意してください!(i.e.e. a - b ≠ b - a {displaystyle a-b-bneq b-a} )

乗算の可換性

つの項の演算子が乗算であるとき、「乗算の可換的性質」が適用される。代数的には、a ⋅b = b ⋅a {displaystyle a\cdot b=bcdot a} .

これは除算には適用されないことに注意してください(i.e.e. a b ≠ b a {\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}}} {\frac {b}{a}}}} {\frac {b}{a}}}}}♪ when a ≠ b {displaystyle a\neq b} ) )

追加の連想財産

連想」とは、数のグループ化を意味します。足し算の連想性は、3つ以上の項を足し算するとき、これらの項がどのようにグループ化されているかは問題ではないということを意味している。代数的には、a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} となります。これは、減算の場合には保持されないことに注意してください。例えば、1 = 0 - ( 0 - 1 )≠ ( 0 - 0 ) - 1 = - 1 {\displaystyle 1=0-(0-1)\neq (0-0)-1=-1} （分布性の性質を参照）。

掛け算の連想特性

掛け算の連想性とは、３つ以上の項を掛け合わせるときには、その項がどのようにグループ化されていても構わないということです。ただし、これは除算には当てはまらないので、例えば、２＝１／（１／２）≠（１／１）／２＝１／２ {\displaystyle 2=1/(1/2)\neq (1/1)/2=1/2} .

分配財産

分布的性質は、ある数の掛け算が別の項で分散することができることを示す。例えば： a ⋅ ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a\cdot (b+c)=ab+ac} .(連想の性質と混同しないでくださいね。

加法的同一性特性

同一性」とは、数が自分自身と等しいという性質のことである。言い換えれば、和の変数に等しくなるように、二つの数の演算が存在することである。加法的同一性特性は、任意の数と0の和がその数であることを示している：a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} .これは引き算にも当てはまる： a - 0 = a { {displaystyle a-0=a} .

乗算的同一性特性

乗算的同一性特性は、任意の数と１の積がその数であることを示している： a ⋅ 1 = a {\displaystyle acdot 1=a} .これは，除算の場合も保持する： a 1 = a {\displaystyle {\frac {a}{1}}=a} .

加法逆特性

加法逆特性は、加法同一性特性の反対のようなものである。ある演算が数とその逆数の和であり、それが0に等しい場合、その演算は有効な代数的演算である。代数的には、次のようになる。1の加法逆数は(-1)である。

逓倍逆性

乗算逆特性とは、ある演算が数とその逆数の積であり、それが1に等しい場合、その演算は有効な代数的演算であることを意味する。代数的には、次のようになる。2の乗算逆数は1/2である。

高度な代数

初等代数」、つまり基礎代数に加えて、抽象代数、線形代数、普遍代数など、大学で教えられている高度な代数があります。これには、行列を使って多くの連立方程式を一度に解く方法が含まれています。抽象代数は、数を超えて、数のグループを使ってより抽象的なものへと進む、方程式の中にあるものの研究です。

多くの数学の問題は物理学や工学に関するものです。これらの物理学の問題の多くでは、時間が変数として使われています。代数学の基本的な考え方を使うことで、数学の問題を最も簡単な形に減らすことができ、難しい問題を簡単に解くことができます。エネルギーは e、力は f、質量は m、加速度は a、光速は c であることがあります。これは f = ma や e=mc^2 のような有名な方程式で使われています（この最後の方程式を作るためには代数を超えた複雑な数学が必要でしたが）。

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