オイラーの等式とは e^{iπ}+1=0の定義と数学的意義

オイラーの等式とは、複素解析と三角関数、指数関数を結びつける非常に有名な式で、次の形で表されます。

e i π + 1 = 0 {displaystyle e^{i} $e^{i\pi }+1=0$

記号の意味

♪π {pos(100,000)} $\pi$ π は円周率（π ≈ 3.14159）です。

π ≈ 3.14159 ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ $\pi \approx 3.14159$

e { {displaystyle e}の $e$ オイラーの数（e ≈ 2.71828）です。

e ≈ 2.7182828 {displaystyle e ≈ 2.7182828 {\ style e} $e\approx 2.71828$

i {displaystyle i $i$ } , imaginary unit（虚数単位、i^2 = −1）です。

ı = √ - 1 {\displaystyle ｲﾏｽ =\surd {-1}}}。 $\imath =\surd {-1}$

式の名称はスイスの数学者レナード・オイラー（Leonhard Euler）に由来します。オイラー自身がこの形で最初に書いたかどうかには諸説ありますが、オイラーの研究がこの関係の理解に大きく貢献しました。

導出（簡単な説明）

オイラーの等式は、まずオイラーの公式

e^{iθ} = cos θ + i sin θ

を用いて得られます。θ = π を代入すると

e^{iπ} = cos π + i sin π = −1 + i·0 = −1

したがって e^{iπ} + 1 = 0 となります。

このオイラーの公式は次のような複数の方法で導出できます（代表例）：

テイラー級数による導出：指数関数、正弦、余弦のテイラー展開（e^{x}, sin x, cos x の無限級数）を θ を置き換えて比較する方法。具体的には e^{iθ} = Σ_{n=0}^∞ (iθ)^n / n! を実部と虚部に分けると cos θ と sin θ の級数になるため、オイラーの公式が得られます。
微分方程式による導出：f(θ)=e^{iθ} は f' = i f を満たし、初期条件 f(0)=1 から一意に解を求めると cos θ + i sin θ と一致する、という方法。
複素平面上の幾何学的解釈：複素指数関数は偏角 θ の回転と考えられ、θ = π の回転は 1 を −1 に送るので e^{iπ} = −1 になる、という直感的説明。

数学的・概念的意義

この等式は、0, 1, e, π, i という数学の基本的で重要な定数が一つの簡潔な等式に結びつくという点で「美しい」と評価されます。
複素解析、フーリエ解析、信号処理、量子力学など、多くの分野で中心的な役割を果たします。例えば複素指数関数は波の表現やフーリエ変換に直接使われます。
指数関数と三角関数の深い関係を示し、解析学と代数幾何学、位相的な直感を結びつける橋渡しの役割があります。

応用例（概略）

フーリエ変換：複素指数関数 e^{iωt} を基礎として、信号を周波数成分に分解します。
微分方程式の解法：振動系や波動方程式などで複素指数を用いると計算が簡潔になります。
電気工学：交流回路解析で位相や振幅を扱う際、複素数表示が標準的に使われます。
量子力学：波動関数の位相因子として複素指数が現れます。

美的評価と文化的影響

Physics Worldの世論調査などでは、この式は「これまでに書かれた中で最も深遠な数学的記述」の一つと評され、しばしば「美しい等式」「崇高な表現」として引用されます。単に実用性だけでなく、数学の内的な調和や簡潔さを象徴する例として広く受け入れられています。

まとめると、オイラーの等式 e^{iπ}+1=0 は単独で解ける一つの式というよりも、数学の複数の分野をつなぐ中心的な関係の表れであり、理論的・実用的双方で重要性と美しさを兼ね備えた結果です。

テイラー級数を用いたオイラーの等式の数学的証明

多くの方程式は、項を足し合わせた系列として書くことができます。これはテイラー級数と呼ばれます。

指数関数 e x {\displaystyle e^{x}}は $e^{x}$ 、テイラー級数として書くことができます。

e x = 1 + x + x 2 2 !+ x 3 3 !+ x 4 4 !⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n !{\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2}\over {2!\over {3!\♪over {4!\¶¶¶¶¶¶¶¶} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

同様に、サインは次のように書くことができます。

sin x = x - x 3 3 !+ x 5 5 !- − x 7 7 !⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) !x 2 n + 1 {displaystyle \sin {x}=x-{x^{3}} !\♪over 3! ♪+{x^{5}\♪over 5!\♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪\over (2n+1)! $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

とコサインを

cos x = 1 - x 2 2 !+ x 4 4 !- − x 6 6 !⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) !x 2 n {displaystyle ｺｽ {x}=1-{x^{2}} !\¶+{x^{4}\♪over 4!\♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪\♪over (2n)! $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

e x {displaystyle e^{x}}は $e^{x}$ 、サインとコサインのテイラー級数の和のように見える。実際に証明しているのは、e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ となる。

だから、左側は、e i x {displaystyle e^{ix}}です。 $e^{ix}$ そのテイラー級数は 1 + i x - x 2 2 !- i x 3 3 3 !+ x 4 4 !+ i x 5 5 !⋯ {displaystyle 1+ix-{x^{2}.\♪over 2! ♪-{ix^{3}\♪over 3! ♪+{x^{4}\♪over 4! ♪+{ix^{5}\♪over 5!} $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

ここでは、すべての第2項がi倍の正弦項であり、他の項は余弦項であるというパターンを見ることができます。

右側はcos (x ) + i sin (x ) {\display style ≪(ドアミラー)≫ $\cos(x)+i\sin(x)$ そのテイラー級数は余弦のテイラー級数に正弦のテイラー級数を加えたもので、次のように示すことができます。

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 !⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

これを足すと

1 + i x - x 2 2 !- i x 3 3 3 !+ x 4 4 !+ i x 5 5 !⋯ {displaystyle 1+ix-{x^{2}.\♪over 2! ♪-{ix^{3}\♪over 3! ♪+{x^{4}\♪over 4! ♪+{ix^{5}\♪over 5!} $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

したがって。

e i x = cos (x ) + i sin (x ) { {displaystyle e^{ix}=cos(x)+is\in(x)}} {e i x = cos (x) + i sin (x) $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

xをπに置き換えると $\pi$ 私たちは...

e i π = cos (π ) + i sin (π ) {\displaystyle e^{i\pi }=cos( $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

それから、私たちは以下のことを知っています。

cos ( π ) = -1 {displaystyle \cos(π )=-1}。 $\cos(\pi )=-1$

そして

sin ( π ) = 0 {displaystyle \sin(π )=0}。 $\sin(\pi )=0$

したがって。

e i π = 0 - 1 {displaystyle e^{i\pi }=0-1}}。 $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {displaystyle e^{i} $e^{i\pi }+1=0$

ＱＥＤ

質問と回答

Q:オイラーの恒等式とは何ですか?

A:オイラーの恒等式は、オイラー方程式と呼ばれることもあり、数学定数π、オイラー数、虚数単位と、数学の基本操作である足し算、掛け算、指数計算の3つを組み合わせた方程式である。e^(i*pi) + 1 = 0 という方程式です。

Q:レナード・オイラーとは誰ですか?

A:レナード・オイラーはスイスの数学者で、このIDの名前の由来となった人物です。彼自身が発明したかどうかは不明である．

Q: オイラーの恒等式に対する反応は?

A: Physics Worldの投票では，この恒等式を「これまでに書かれた最も深い数学的声明」，「不気味で崇高」，「宇宙的な美しさに満ちている」，「心を揺さぶるもの」と呼んでいます．

Q: この方程式に登場する定数にはどのようなものがありますか?

A:この方程式に登場する定数は、π（約3.14159）、オイラー数（約2.71828）、虚数単位（-1に等しい）です。

Q:この方程式に登場する演算にはどのようなものがあるか?

A:足し算、掛け算、指数演算です。

Q:円周率はどのように数学的に表現できますか?

π ≈ 3.14159 {displaystyle \pi \approx 3.14159} と表すことができる。

Q:オイラー数はどのように数学的に表現するのですか?A:オイラー数は、e≈2.71828と表すことができます。