オイラーの等式

オイラーの等式と呼ばれることもあるオイラーの等式は、この式です。

e i π + 1 = 0 {displaystyle e^{i} $e^{i\pi }+1=0$

♪π {pos(100,000)} $\pi$ π

π ≈ 3.14159 ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ $\pi \approx 3.14159$

e { {displaystyle e}の $e$ オイラーの数

e ≈ 2.7182828 {displaystyle e ≈ 2.7182828 {\ style e} $e\approx 2.71828$

i {displaystyle i $i$ } , imaginary unit

ı = √ - 1 {\displaystyle ｲﾏｽ =\surd {-1}}}。 $\imath =\surd {-1}$

オイラーの正体は、スイスの数学者レナード・オイラーにちなんで命名された。彼自身が発明したかどうかは明らかではない。

Physics Worldの世論調査の回答者は、このIDを「これまでに書かれた中で最も深遠な数学的記述」、「不気味で崇高」、「宇宙的な美しさに満ちている」、「心を揺さぶる」と呼んでいます。

テイラー級数を用いたオイラーの等式の数学的証明

多くの方程式は、項を足し合わせた系列として書くことができます。これはテイラー級数と呼ばれます。

指数関数 e x {\displaystyle e^{x}}は $e^{x}$ 、テイラー級数として書くことができます。

e x = 1 + x + x 2 2 !+ x 3 3 !+ x 4 4 !⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n !{\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2}\over {2!\over {3!\♪over {4!\¶¶¶¶¶¶¶¶} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

同様に、サインは次のように書くことができます。

sin x = x - x 3 3 !+ x 5 5 !- − x 7 7 !⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) !x 2 n + 1 {displaystyle \sin {x}=x-{x^{3}} !\♪over 3! ♪+{x^{5}\♪over 5!\♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪\over (2n+1)! $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

とコサインを

cos x = 1 - x 2 2 !+ x 4 4 !- − x 6 6 !⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) !x 2 n {displaystyle ｺｽ {x}=1-{x^{2}} !\¶+{x^{4}\♪over 4!\♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪\♪over (2n)! $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

e x {displaystyle e^{x}}は $e^{x}$ 、サインとコサインのテイラー級数の和のように見える。実際に証明しているのは、e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ となる。

だから、左側は、e i x {displaystyle e^{ix}}です。 $e^{ix}$ そのテイラー級数は 1 + i x - x 2 2 !- i x 3 3 3 !+ x 4 4 !+ i x 5 5 !⋯ {displaystyle 1+ix-{x^{2}.\♪over 2! ♪-{ix^{3}\♪over 3! ♪+{x^{4}\♪over 4! ♪+{ix^{5}\♪over 5!} $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

ここでは、すべての第2項がi倍の正弦項であり、他の項は余弦項であるというパターンを見ることができます。

右側はcos (x ) + i sin (x ) {\display style ≪(ドアミラー)≫ $\cos(x)+i\sin(x)$ そのテイラー級数は余弦のテイラー級数に正弦のテイラー級数を加えたもので、次のように示すことができます。

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 !⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

これを足すと

1 + i x - x 2 2 !- i x 3 3 3 !+ x 4 4 !+ i x 5 5 !⋯ {displaystyle 1+ix-{x^{2}.\♪over 2! ♪-{ix^{3}\♪over 3! ♪+{x^{4}\♪over 4! ♪+{ix^{5}\♪over 5!} $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

したがって。

e i x = cos (x ) + i sin (x ) { {displaystyle e^{ix}=cos(x)+is\in(x)}} {e i x = cos (x) + i sin (x) $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

xをπに置き換えると $\pi$ 私たちは...

e i π = cos (π ) + i sin (π ) {\displaystyle e^{i\pi }=cos( $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

それから、私たちは以下のことを知っています。

cos ( π ) = -1 {displaystyle \cos(π )=-1}。 $\cos(\pi )=-1$

そして

sin ( π ) = 0 {displaystyle \sin(π )=0}。 $\sin(\pi )=0$

したがって。

e i π = 0 - 1 {displaystyle e^{i\pi }=0-1}}。 $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {displaystyle e^{i} $e^{i\pi }+1=0$

ＱＥＤ

質問と回答

Q:オイラーの恒等式とは何ですか?

A:オイラーの恒等式は、オイラー方程式と呼ばれることもあり、数学定数π、オイラー数、虚数単位と、数学の基本操作である足し算、掛け算、指数計算の3つを組み合わせた方程式である。e^(i*pi) + 1 = 0 という方程式です。

Q:レナード・オイラーとは誰ですか?

A:レナード・オイラーはスイスの数学者で、このIDの名前の由来となった人物です。彼自身が発明したかどうかは不明である．

Q: オイラーの恒等式に対する反応は?

A: Physics Worldの投票では，この恒等式を「これまでに書かれた最も深い数学的声明」，「不気味で崇高」，「宇宙的な美しさに満ちている」，「心を揺さぶるもの」と呼んでいます．

Q: この方程式に登場する定数にはどのようなものがありますか?

A:この方程式に登場する定数は、π（約3.14159）、オイラー数（約2.71828）、虚数単位（-1に等しい）です。

Q:この方程式に登場する演算にはどのようなものがあるか?

A:足し算、掛け算、指数演算です。

Q:円周率はどのように数学的に表現できますか?

π ≈ 3.14159 {displaystyle \pi \approx 3.14159} と表すことができる。

Q:オイラー数はどのように数学的に表現するのですか?A:オイラー数は、e≈2.71828と表すことができます。