指数関数

プロパティ

指数関数は指数を使用するため、同じルールに従います。したがって

exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) = e x + y {\exp(x+y)=\exp(x)y=e^{x+y}}..これは、x a・x b = x a + b {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}}という規則に従う。.

自然対数は、指数関数の逆演算です。

ln ( x ) = log e ( x ) = log ( x ) log ( e ) {\\ln(x)=\log _{e}(x)={frac {\log(x)}{\log(e)}}}。

指数関数は、微分積分学において興味深い重要な性質を持っています。

d d x e x = e x {\frac {\mathrm {d}}e^{x}}=e^{x}}}。}{mathrm {d} x}e^{x}=e^{x}}である。｝,

これは、指数関数の傾きが指数関数そのものであることを意味しており、したがって、x = {0displaystyle x=0}において傾きが1であることを意味している。これらの性質は、指数関数が数学において重要な関数である理由である。

アプリケーション

指数関数は、数学関数の中でも最も有用なものの一つです。指数関数は、指数関数的な成長を表すのに使われます。指数関数的な成長は、ほぼすべての科学分野で使われており、金融分野でも顕著です。また、放射性崩壊や光の吸収のように指数関数的な減衰も起こります。

指数関数の実生活での例として、銀行の利息があります。ある人が100ポンドを月に3％の利息がつく口座に預けた場合、毎月の残高は次のようになります（お金が手つかずであると仮定した場合）。

月	バランス	月	バランス
1月	£100.00	7月	£119.41
2月	£103.00	8月	£122.99
3月	£106.09	9月	£126.68
4月	£109.27	10月	£130.48
5月	£112.55	11月	£134.39
6月	£115.93	12月	£138.42

毎月、利息による余分なお金が増えることに注目してください。元々の残高が多いほど、その人にはより多くの利息がつきます。

指数関数の2つの数学的な例を以下に示します。

数学定数eとの関係

基数（a）は、10や1/2など、0より大きな数字であれば何でもいいのですが、多くの場合、eという特殊な数字になります。eは正確に書くことはできませんが、ほぼ2.71828に等しい数字です。

eという数字は、すべての指数関数にとって重要です。例えば、ある銀行が毎日0.01％の利息を支払っているとします。ある人がその利息分のお金を箱に入れておきます。1万日（約30年）後、彼は最初の2倍のお金を持っています。もう一人の人は、利子のついたお金を再び銀行に預けます。銀行は今度は彼に利子を支払うので、お金の量は指数関数になります。10,000日後、彼は最初に持っていたお金の2倍ではなく、2.718145倍のお金を持っています。この数字はeという数字に非常に近いものです。もし銀行が利息を支払う回数が増えて、毎回支払う金額が少なくなれば、この数字はeという数字に近づくことになります。

また、この絵を見ると、指数関数ではeという数字が重要であることがわかります。この絵には、3つの異なる曲線が描かれています。黒い点がある曲線は、基数がeより少し小さい指数関数です。短い黒い線がある曲線は、基数がeより少し大きい指数関数です。青い曲線は、基数がeにちょうど等しい指数関数です。赤線は青の曲線の接線で、青の曲線と交差せずに一点で接している。赤い曲線は、左から右に向かう線であるx軸を-1の位置で横切っていることがわかります。これが、eを底辺とする指数関数が特別なものである理由です。

e は、指数関数f(x)=ax(青の曲線)のx=0での導関数の値がちょうど1になるような、唯一の数aです。なお、比較のために、関数2x（点線）と関数4x（破線）を示したが、これらは傾き1の直線（赤）には接していない。