テイラー展開（テイラー級数）とは？定義・公式・導出・応用例とマクローリン級数

このシリーズを最初に思いついたのは、古代ギリシャの哲学者、エレアのゼノンでした。ゼノンのパロドックス」と呼ばれるパラドックスがその結果である。彼は、無限の値を足して、結果として単一の有限の値を得ることは不可能であると考えた。

ギリシャの哲学者アリストテレスも、この哲学的な問いに対する答えを出していた。しかし、数学的な解決策を導き出したのは、アルキメデスの「消耗法」であった。アルキメデスは、何かを無限に細かく分割しても、それらをすべて足せば1つの全体になることを証明した。その数百年後、古代中国の数学者である劉輝が同じことを証明した。

テイラー級数の最も古い例は、1300年代にインドのサニャガマーグラマのマードヴァの研究であると言われています。後のインドの数学者たちは、サイン、コサイン、タンジェント、アークタンジェントの三角関数に関する彼の研究について書いている。マードラバの著作や記録は現在では残っていない。他の数学者たちは、マードゥワヴァの発見に基づいて、1500年代までこれらの系列の研究を進めた。

スコットランドの数学者であるJames Gregoryは、1600年代にこの分野で活躍しました。グレゴリーはテイラー級数を研究し、いくつかのマクローリン級数を発表した。1715年、ブルック・テイラーは、この級数をすべての関数に適用する一般的な方法を発見した。(それまでの研究では、特定の関数だけに適用する方法しか知られていなかった）。Colin Maclaurinは、1700年代にテイラー級数の特殊なケースを発表した。このゼロを中心とした級数をマクラウリン級数と呼ぶ。

テイラー級数は、平滑関数（数学用語では「無限微分可能」）である任意の関数 ƒ（x）を記述するために使用できます。テイラー級数は、関数がある数aの近傍でどのように見えるかを記述するために使用されます。

このテイラー級数は、冪級数として書くと次のようになります。

f ( a ) + f ′ ( a ) !1( x - a ) + f ″ ( a ) !2( x - a ) +2 f 3( ) ( a ) !3( x - a ) + ⋯ 。3{\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}

この式は、シグマ表記では次のようにも書けます。

∑ n 0= ∞ f ( n ) ( a ) n !( x - a ) n {\\_sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}˶,(x-a)^{n}}

ここで、n！はnの階乗である。 ƒ ⁽ⁿ⁾(a)は点aにおけるƒのn次導関数であり、a{displaystyle a}は関数の領域内の数である。ある関数のテイラー級数がその関数と等しい場合、その関数は "解析的関数 "と呼ばれる。

マクラウリンシリーズ

a = {0displaystyle a=0}のときのとき、その関数はマクローリン級数と呼ばれる。マクラウリン級数をべき乗級数として書くと次のようになる。

f 0( ) + f0 ′ ( ) !1x + f ″ ( ) !02x +2 f 30( ) ( ) !3x + ⋯ .3{\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .}

シグマ記法で書くと、マクローリン級数は

∑n 0= ∞ f ( n ) ( )0 n !x n { {sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!｝

いくつかの重要なTaylorシリーズとMaclaurinシリーズは以下の通りです。

sin x = ∑ n 0= ∞ ( - )1 n ( n 21+ ) !x n 2+ = 1x - x !33+ x !55- ⋯ for all x {\sin x==sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

cos x = ∑ n 0= ∞ ( - )1 n ( n2 ) !x n 21= - x !22+ x !44- ⋯ for all x {˶ˆ꒳ˆ˵} {sum _{n=0}^{˶ˆ꒳ˆ˵} {˶ˆ꒳ˆ˵} {x^{2n}=1-{˶ˆ꒳ˆ˵}+{˶ˆ꒳ˆ˵} {x^{4}}{4}-˶ˆ꒳ˆ˵} {˶ˆ꒳ˆ˵} {x^{4}}{4}}-˶ˆ꒳ˆ˵} { for all }}x\!}

sinh ( x ) = ∑n 0= ∞ (1 n2 + ) !1x n 2+ for1 all x {\sinh(x)=\_sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!}

cosh ( x ) = ∑n 0= ∞ (1 n2 ) !x n 2for all x {displaystyle ˶ˆ꒳ˆ˵ }{sum _{n=0}^{˶ˆ꒳ˆ˵ }{frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{text{ for all }}x\!}

e x = ∑ n 0= ∞ n 1!x n = +1 x + !12x + !213x + ⋯3 for all x {displaystyle e^{x}=Sum _{n=0}^{\infty }{1}{n!}}x^{n}=1+x+{frac {1}{2!}}x^{2}+{frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {text{ for all }}x\!}

11 -  x = ∑ n 0= ∞ x n = +1 x + 2x + 3x 4+ ⋯ for all | x | < {1˶ˆ꒳ˆ˵}=sum _{n=0}^{˶ˆ꒳ˆ˵}x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+cdots {˶ˆ꒳ˆ˵}|x|<1}

ln ( +1 x ) = ∑ n 1= ∞ ( - )1 n + n1 x n for all | x 1| < {\displaystyle ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{ for all }}|x|<1}}。

tan x = ∑ n 1= ∞ B n 2( - )4 n 1( -4 n ) ( n2 ) !x n 2- =1 x + x 2515+ ⋯33 for | x | < π {\\\\tan x=sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\\ {x^{3}}{3}}+{\ {2x^{5}}{15}}+cdots {text{ for }}|x|<{\ {pi }{2}}\!}2

ここで、B n {displaystyle B_{n}}は、n番目のベルヌーイ数であり、ln {displaystyle ˶ln}は自然対数である。