微分積分学

背景

5や200といった数字とは異なり、変数はその値を変えることができる。例えば、距離と時間は変数である。オリンピックの徒競走では、走れば走るほど、スタートラインからの距離が伸びていきます。一方、ストップウォッチや時計は、上がるにつれて時間を計測します。走った距離を時間で割れば、そのランナーの平均的なスピードが測れる。しかし、これでは、その人がちょうど1.5秒後にどのような速度で走っていたのかがわかりません。もし、1秒後の距離と2秒後の距離があったとしても、レース全体の平均よりは正しいかもしれませんが、やはり平均しか出てきません。

微積分が発明されるまで、これを計算する唯一の方法は、時間をどんどん小さく切って、小さい時間の平均速度がちょうど1.5秒の実際の速度に近づいていくようにすることであった。これは非常に長く大変な作業で、人々が何かを解決しようとするたびに行わなければならなかった。スピードメーターを持たず、オドメーター（距離計）と時計だけで車の速度を割り出そうとするドライバーを想像してみてください。

よく似た問題に、曲線上の任意の点での傾き（どの程度急か）を求めるものがある。直線の傾きは、単純に、どれだけ上るか（yまたは垂直方向）をどれだけ横切るか（xまたは水平方向）で割ったものである。線がx軸に平行であれば、その傾きはゼロである。直線が (x,y) = (2,10) と (4,18) を通る場合、線は 8 上がって 2 横切るので、傾きは 8 割る 2 で 4 となる。

しかし、「曲線」では、線が曲がっているため、傾きは可変である（点によって異なる値を持つ）。しかし、曲線を非常に細かく切り分けた場合、その点での曲線はほとんど短い直線のように見えるだろう。そこで、その傾きを求めるには、その点を通る、その点での曲線と同じ傾きの直線を描けばよい。この直線の傾きが曲線と同じであれば、接線と呼ばれる。しかし、その接線が正確にできているかどうかは（微積分をしなければ）わからない。また、私たちの目は、それが正確なのか、それとも単に非常に近いのかを確かめるほど正確ではない。

ニュートンとライプニッツが発見したのは、単純で論理的なルールで傾き（距離の例では速度）を正確に計算する方法であった。彼らは、曲線を非常に小さな断片に無限に分割した。そして、興味のある点の両側にある点を選び、それぞれで接線を計算した。その接線が曲線の実際の傾きに近づくにつれて、傾きはある特定の値に近づいた。彼らは、この近づいてきた特定の値こそが、実際の傾きであると言った。

曲線上では、異なる2点は異なる傾きを持つ。赤と青の線は、曲線の接線である。

仕組み

fはfunctionの略ですから、この式は「yはxの関数である」という意味になります。これは、yが縦軸のどの高さにあるかは、その時のx（横軸）が何であるかに依存することを表しています。例えば、y = x²という方程式では、xが1ならyは1、xが3ならyは9、xが20ならyは400になることが分かります。

次に、曲線上の点Aを選び、その水平位置をxと呼ぶ。そして、Aより少し横に離れた別の点Bを選び、その水平位置をx＋hと呼ぶ。

そこで、A点からB点に行くとき、縦の位置はf(x)からf(x + h)に、横の位置はxからx + hになったことになります。ですから、傾きは次のようになります。

f ( x + h ) - f ( x ) h {displaystyle {frac {f(x+h)-f(x)}{h}} }.

BをAに近づければ、つまりhが0に近づけば、A点での傾きを知ることに近づく。

lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h { {displaystyle \lim _{highedarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}} { {frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} { {displaystyle &#89847

さて、y = x²に戻ろう。これの傾きは、次のように求めることができる。

= lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h = lim h → 0 ( x + h ) 2 - ( x ) 2 h {displaystyle {begin{aligned}& ...=lim _{h}rightarrow 0}{hfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}}&=lim _{h}rightarrow 0}{frac {(x+h)^{2}-(x)^{2}}{h}} end{aligned}}} {=lim _{h}rightarrow 0}{h}rightalow {h}{h}{h}{h}}{h}&=im {h}{h}{h}{h}{h}{h}{h}{h}} {h}<h

( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}} となる二項定理を適用すると、以下のように還元できる。

= lim h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 h = lim h → 0 2 x h + h 2 h = lim h → 0 2 x + h = 2 x {displaystyle { {begin{aligned}&=lim _{h}rightarrow 0}{hfrac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}&=lim _{h}rightarrow 0}{hfrac {2xh+h^{2}}{h}}&=lim _{h}rightarrow 0}2x+h}&={hfrac {}{}2x}end{aligned}}}=lim _{h}ライトアロー

つまり、曲線 f(x) = x² 上のどの点でも、微分 f'(x) (アポストロフィのマーク) は 2x になることが、接線を引くまでもなくわかるのです。このように極限を使って傾きを求めることを微分と呼ぶ．

ライプニッツは同じ結果を得たが、hを「dx」と呼び、「xの微量な変化」を意味した。ライプニッツは、その結果生じるf(x)の変化を「dy」と呼び、これは「微量のy」を意味する。ライプニッツの表記法がより多くの書籍で使われているのは、方程式が複雑になったときに理解しやすいからである。ライプニッツ記法では

d y d x = f ′ ( x ) {displaystyle {frac {dy}{dx}}=f'(x)} }.

曲線上のxとx＋hが何を意味するかを示す絵。

ルール

このようなシステムを用いて、数学者はどのような関数を見ても、常に有効な規則を作り出したのである。(注: ここでは、u {displaystyle u} と v {displaystyle v} は両方とも x {displaystyle x} の関数である)

コンディション	機能	デリバティブ	例	デリバティブ
単体での数値	y = a {displaystyle y=a}	d y d x = 0 {displaystyle {frac {dy}{dx}=0}}.	y = 3 {displaystyle y=3}.	0 {displaystyle 0｝
直線	y = m x + c {displaystyle y=mx+c}	d y d x = m {displaystyle {frac {dy}{dx}}=m｝	y = 3 x + 5 {displaystyle y=3x+5}.	3} {displaystyle 3
xの累乗	x a {displaystyle x^{a}}	d y d x = a x a - 1 {displaystyle { {frac {dy}{dx}}=ax^{a-1}}}.	x 12 {displaystyle x^{12}}}	12 x 11 {displaystyle 12x^{11}}}.
関数で掛け合わせた数値	y = c ⋅ u {displaystyle y=carette u}	d y d x = c d u d x {displaystyle {}{dy}{dx}}=c{frac {du}{dx}}}.	y = 3 ( x 2 + x ) {displaystyle y=3(x^{2}+x)}.	3 ( 2 x + 1 ) {displaystyle 3(2x+1) } {displaystyle 3(2x+1) }.
機能＋αの機能	y = u + v {displaystyle y=u+v}	d y d x = d u d x + d v d x {displaystyle {{frac {dy}{dx}}={{frac {du}{dx}}+{frac {dv}{dx}}}}.	y = 3 x 2 + x {displaystyle y=3x^{2}+{hatsqrt {x}}}.	6 x + 1 x {displaystyle 6x+{Cfrac {1}{sqrt {x}}}}.
関数から別の関数を引いたもの	y = u - v {displaystyle y=u-v}	d y d x = d u d x - d v d x {displaystyle { {frac {dy}{dx}}={frac {du}{dx}}-{frac {dv}{dx}}}}.	y = 3 x 2 - x {displaystyle y=3x^{2}-{hatsqrt {x}}}.	6 x - 1 x {displaystyle 6x-{Afrac {1}{sqrt {x}}}}.
積の法則  関数と他の関数を掛け合わせたもの	y = u ⋅ v {displaystyle y=ucdot v}	d y d x = d u d x v + u d v d x {displaystyle {}={Chefrac {du}{dx}}v+u{Chefrac {dv}{dx}}}}.	y = ( x 2 + x + 2 ) ( 3 x - 1 ) {displaystyle y=(x^{2}+x+2)(3x-1)} {displaystyle y=(x^{2}+x+2)(3x-1)	( 3 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) + 3 ( x 2 + x + 2 ) {displaystyle (3x-1)(2x+1)+3(x^{2}+x+2)} } {displaystyle (3x-1)(2x+1)+3(x^{2}+x+2)
商法則  関数を別の関数で割ったもの	y = u v {displaystyle y={{frac {u}{v}}}}.	d y d x = d u d x v - u d v d x v 2 {displaystyle { {frac {dy}{dx}}={frac {{frac {du}{dx}}v-u{frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}} {displaystyle { {frac {du}{dx}}v-u {frac {dv}{dx}}}{v^{2}}} {displaystyle {frac {dx}={frac	y = x 2 + 2 x - 1 {displaystyle y={{frac {x^{2}+2}{x-1}}}}.	2 x ( x - 1 ) - ( x 2 + 2 ) ( x - 1 ) 2 {displaystyle {} {frac {2x(x-1)-(x^{2}+2)}{(x-1)^{2}}}}}.
鎖の法則  複合関数に使用	y = u ∘ v {displaystyle y=ucirc v}.	d y d x = d y d u ⋅ d u d x {displaystyle {} {{frac {dy}{dx}}={}frac {dy}{du}} {cdot {}frac {du}{dx}}}}.	y = 2 x - 1 {displaystyle y={CASQRT {2x-1}}}.	2 2 x - 1 = 1 2 x - 1 {displaystyle {{Cfrac {2}{2{Cathqrt {2x-1}}}={Cfrac {1}{Cathqrt {2x-1}}}}}}}.
指数関数	y = e x {displaystyle {}y=e^{x}}.	d y d x = e x {displaystyle {frac {dy}{dx}}=e^{x}}.	y = e x {displaystyle {}y=e^{x}}.	e x {displaystyle}{frac}{}e^{x}}。