2つの正の数 a（大きい方）と b（小さい方）について、普通は2つの数を割ることで2つの数の比を求めることができる。すなわち一つ目の比は a/b である。もう一つの比は（a+b）を大きい方の数 a で割った値、すなわち (a+b)/a である。これら二つの比が等しくなるとき、その共通の値を黄金比と呼ぶ。

定義と記号

黄金比は通常ギリシャ文字の {\displaystyle \varphi }（ファイ）で表される。定義から、φ は次の等式を満たす：

{\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}

具体的に例を挙げると、b = 1 として a/b = φ と置くと a = φ となる。第2の比 (a+b)/a は (φ + 1)/φ であり、等号を用いると上の関係が導かれる。元の定義から代数的に整理すると、φ は次の二次方程式の正の解となる：

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

公式と性質

  • 代数的性質：φ は φ^2 = φ + 1 を満たす。これより φ^n を φ と定数の一次結合で表すことができる。
  • 逆数の性質：1/φ = φ − 1。したがって φ の小数部は φ − 1 に等しい。
  • 連分数表示：φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(...))) と無限に続く単純な連分数になる。
  • 二次代数的数：φ は有理数でなく、次のように平方根を含む形で表されるため無理数（不合理な数字です）である：

ここで平方根について説明すると、√5（画像）は 5 を二乗すると 5 になる数であり、例えば

{\displaystyle {\sqrt {5}}} は次を満たす： {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5}。

数値近似

φ の小数展開はおおよそ 1.6180339887... であり、小数点以下は無限に続きパターン化しない（無理数であるため）。φ の重要な特徴として、φ から 1 を引すか φ で割ると別の簡潔な関係が得られる点が挙げられる（上の逆数の性質参照）。

フィボナッチ数列との関係

フィボナッチ数列 (F_n) は F_0 = 0, F_1 = 1, 以降 F_{n+1} = F_n + F_{n-1} で定義される。このとき隣接する項の比は n を大きくするにつれて φ に収束する：

lim_{n→∞} F_{n+1}/F_n = φ

さらにビネの公式（Binet の公式）により、n 項目のフィボナッチ数は φ とその共役根 ψ = (1 − √5)/2 を使って次のように表される：

F_n = (φ^n − ψ^n)/√5

応用と例

  • 自然界や美術、建築などで見られる比率（花弁の配列、貝殻の螺旋、古典建築の比率など）。
  • デザインやタイポグラフィでの視覚的バランスを取るための比率として利用される。
  • 計算やアルゴリズム（例：最適な分割、近似理論）にも現れる。

まとめると、黄金比 φ は単純な比の等式から導かれる特別な無理数であり、代数的・幾何学的に多くの興味深い性質を持ち、フィボナッチ数列との深い関係を通じて自然や人間のデザインに頻繁に現れる。