不定積分（反微分）入門：定義・計算公式・具体例をやさしく解説

不定積分（反微分）の定義から計算公式、例題までを初心者向けにやさしく解説。図解と具体例でステップごとに理解できる入門ガイド。

著者: Leandro Alegsa

反微分（不定積分とも呼ばれる）とは、関数の微分の「逆操作」で、ある関数を微分して得られる関数が与えられたときに、その元の関数（もしくは元の関数の族）を求めることです。ここで言う「微分」はの反対語としての操作で、解析の基本的な考え方になります。反微分は広い意味で数学のさまざまな分野で用いられます。

不定積分は一般に次のように表記します：∫ f(x) dx。これは「関数 f(x) の反微分を求める」という意味で、結果は原始関数（antiderivative）と呼ばれる関数の族になります。例えば、次のように書くことができます：{\displaystyle \int x\ dx}（この例は ∫ x dx）

不定積分の基本性質

  • 原始関数の族：もし F'(x) = f(x) を満たす関数 F(x) が一つ見つかれば、一般解は F(x) + C（C は任意定数）です。定数 C が付くのは、定数の微分が 0 になるためです。
  • 線形性：∫[a f(x) + b g(x)] dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx （a, b は定数）です。
  • べき乗則（パワールール）：
    • ∫ x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C （ただし n ≠ −1）
    • ∫ x^(−1) dx = ∫ 1/x dx = ln|x| + C

よく使う基本公式（例）

  • ∫ x dx = x^2/2 + C
  • ∫ x^2 dx = x^3/3 + C
  • ∫ sin x dx = −cos x + C
  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ e^x dx = e^x + C
  • ∫ a^x dx = a^x / ln a + C （a>0, a≠1）

計算のテクニック（代表例）

  • 置換積分（部分的な逆合成）：u = g(x) と置くことで積分を簡単な形に変える方法。例：∫ 2x cos(x^2) dx。ここで u = x^2 とすると du = 2x dx になり、∫ cos u du = sin u + C = sin(x^2) + C。
  • 部分積分（積の形のとき）：∫ u dv = u v − ∫ v du。例えば ∫ x e^x dx は u = x、dv = e^x dx を取ると、∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C = e^x(x − 1) + C。

不定積分と定積分の関係

不定積分は原始関数の集合を与えますが、定積分（区間 [a,b] 上の積分）とは密接に関連しています。基本定理（微積分学の基本定理）により、もし F'(x)=f(x) を満たす原始関数 F があれば、定積分は F(b) − F(a) で計算できます。つまり不定積分を求めることは定積分の計算に直接役立ちます。

実用上の注意とコツ

  • 積分の際はまず関数の形をよく観察し、置換ができないか、部分積分が有効でないかを考えること。
  • 標準的な公式（べき乗則、三角関数、指数・対数関数など）を暗記しておくと計算が速くなります。
  • 積分の途中で絶対値や定義域に注意する必要がある（例：ln|x| の扱いなど）。
  • 具体的な問題でつまずいたら、微分を逆に辿る（候補となる原始関数の微分を取って確認する）という逆算が有効です。

不定積分は、関数の「元」を求める操作であり、微分との対応関係や上に挙げた計算規則と組み合わせることで多くの関数の積分を求められます。応用範囲は広く、物理や工学、確率・統計など多くの領域で重要な役割を果たします。さらに詳しい応用や高度な手法については、積分法の別章（置換法、部分分数分解、特殊関数など）を参照してください。大きさを知ることがや方程式の扱いに関連する場面でも、不定積分の考え方は役に立ちます。反微分は別の種類の方程式を解く道具にもなり、また定積分と比べて制限のない表現を与える点で積分に似ていますが、不定積分は「不定」であるため結果に定数を付ける必要があります。

シンプルな統合

To do do you integrate a x n {displaystyle ax^{n}} 統合するために {\displaystyle ax^{n}}

  • Add 1 to the power n {displaystyle n} ﾊﾟﾜｰに１を加える。nだから a x n {displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}is a x n + 1 {displaystyle ax^{n+1}} is now a x n + 1 {displaystyle ax^{n+1}} {\displaystyle ax^{n+1}}
  • これをすべて新しい力で割ると、今はx n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}になります。 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Add constant c {C{\displaystyle c}} , so now is a x n + 1 n + 1 + c {A x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {ax^{n+1}}{n+1}+c}} 。 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

として示すことができる。

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {displaystyle ¶ ax^{n} dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}+c}} {ax^{n+1}+c}} {ax^{n+1}+c} {ax^{n+1}+c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

x {displaystyle xx}の項がたくさんあるときは、それぞれの部分を統合する。

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle int 2x^{6}-5x^{4} dx={frac {2x^{7}}{7}-{frac {5x^{5}}{5}+c={\frac {2}{7}x^{7}x^{7}-x^{5}+c} {\frac {2}{7}-x^{5}+c}. {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(これはパーツを追加したり、取り除いたりしている場合にのみ機能します)。

例としては、以下のようなものがあります。

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle int 3x^{4} dx={{\frac {3x^{5}}{5}+c}}} ∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle int 3x^{4} dx={3x^{5}+c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {displaystyle int x+x^{2}+x^{3}+x^{4} dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}+c} {x^{5}}+c} {x^{5}}{5}+c} {x^{5}}{5}+c} {x^{5}}+c} {x^{5}}{5}}+c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|times 1+c=\ln |x+4|+c}. {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

分数や根っこを力に変えると楽になります。

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {displaystyle ¶ ｄx=int {\frac {1}{x^{3}}} ｄx=int x^{3} dx={\frac {x^{2}}{-2}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}} ｄx={\frac {x^{2}}{-2}+c}} ｄx={\frac {1}{2x^{2}}+c} ｄx={\frac {1}{2x^{2}}+c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {displaystyle int {sqrt {x^{3}}} dx=intx^{\frac {3}{2}}} dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{Sqrt {x^{5}}+c}. {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

ブラケットの統合（"チェーンルール"

( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}}}のような括弧を積分したい場合。{\displaystyle (2x+4)^{3}}違った方法でやる必要がありますそれはチェーンルールと呼ばれています単純な積分のようなものだ。括弧の中の xx {displaystyle x}が １の力を持っている場合にのみ 機能する（線形である） x {\displaystyle x} xまたは 5 x {\displaystyle 5x}のように{\displaystyle 5x}(not x 5 {\displaystyle x^{5}} {\displaystyle x^{5}}or x - 7 {\displaystyle x^{-7}} )。 {\displaystyle x^{-7}}

To do ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {displaystyle \int (2x+4) ^{3} dx}. {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Add １ to power ３ {pos(100,25{\displaystyle 3})} , so it is now (2 x + 4 ) 4 {pos(100,250)} 4 {pos(100,250)} } 4 {pos(100,250)} 4 {pos(100,250)} 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • これを新しい力で割ると ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}}が得られる。 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • これを括弧の導関数で割ると ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}。{\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}to get ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}}を取得します。 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Add constant c {\displaystyle c} to give 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}を与えるために定数{\displaystyle c}c {\displaystyle c}を追加します。 {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

例としては、以下のようなものがあります。

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c (∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {displaystyle ｲｲﾈ!(x+1)^{5} dx={\frac {(x+1)^{6}}{6times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+cleft(because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c (∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {displaystyle int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}}\ dx=int (7x+12)^{-)9} dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8Times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7right)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

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質問と回答

Q:反差別化とは何ですか?


A:微分積分（不定積分ともいう）とは、微積分学においてある関数を求めることです。微分の反対で、ある関数を処理して反微分と呼ばれる別の関数（または関数のクラス）を与えることです。

Q:どのように表現するのですか?


A:一文字で表すとFやGのような大文字のローマ字の形になることが多く、一般に∫f(x) dxのような形で表される。

Q:反差分とはどのようなものですか?


A:ある関数を加工して、反微分と呼ばれる別の関数（または関数のクラス）を与えることです。

Q:積分とどう違うのですか?


A:微分積分は積分と異なり，極限を伴わないので，不定積分と呼ばれます．

Q:微分積分をどのように表現するのか，その例を教えてください．
A:FやGを1文字で表したり、∫f(x) dxを一般的な形で書いたりすることができます。


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