不定積分

反微分（不定積分とも呼ばれる）とは、数学で行われることです。微分の反対語である。

反微分は一般的な方法で大きさを知ることができます。反微分は、方程式のようなものに対して行われます。反微分は反微分と呼ばれるものを与えます。反微分は，別の種類の方程式です．反微分は積分に似ていますが、制限はありません。これが不定と呼ばれる理由です。

antiderivativeは ∫ x d x {displaystyle \int x dx}のように書く。 {\displaystyle \int x\ dx}

シンプルな統合

To do do you integrate a x n {displaystyle ax^{n}} 統合するために {\displaystyle ax^{n}}

  • Add 1 to the power n {displaystyle n} ﾊﾟﾜｰに１を加える。nだから a x n {displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}is a x n + 1 {displaystyle ax^{n+1}} is now a x n + 1 {displaystyle ax^{n+1}} {\displaystyle ax^{n+1}}
  • これをすべて新しい力で割ると、今はx n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}になります。 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Add constant c {C{\displaystyle c}} , so now is a x n + 1 n + 1 + c {A x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {ax^{n+1}}{n+1}+c}} 。 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

として示すことができる。

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {displaystyle ¶ ax^{n} dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}+c}} {ax^{n+1}+c}} {ax^{n+1}+c} {ax^{n+1}+c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

x {displaystyle xx}の項がたくさんあるときは、それぞれの部分を統合する。

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle int 2x^{6}-5x^{4} dx={frac {2x^{7}}{7}-{frac {5x^{5}}{5}+c={\frac {2}{7}x^{7}x^{7}-x^{5}+c} {\frac {2}{7}-x^{5}+c}. {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(これはパーツを追加したり、取り除いたりしている場合にのみ機能します)。

例としては、以下のようなものがあります。

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle int 3x^{4} dx={{\frac {3x^{5}}{5}+c}}} ∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle int 3x^{4} dx={3x^{5}+c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {displaystyle int x+x^{2}+x^{3}+x^{4} dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}+c} {x^{5}}+c} {x^{5}}{5}+c} {x^{5}}{5}+c} {x^{5}}+c} {x^{5}}{5}}+c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|times 1+c=\ln |x+4|+c}. {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

分数や根っこを力に変えると楽になります。

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {displaystyle ¶ ｄx=int {\frac {1}{x^{3}}} ｄx=int x^{3} dx={\frac {x^{2}}{-2}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}} ｄx={\frac {x^{2}}{-2}+c}} ｄx={\frac {1}{2x^{2}}+c} ｄx={\frac {1}{2x^{2}}+c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {displaystyle int {sqrt {x^{3}}} dx=intx^{\frac {3}{2}}} dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{Sqrt {x^{5}}+c}. {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

ブラケットの統合（"チェーンルール"

( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}}}のような括弧を積分したい場合。{\displaystyle (2x+4)^{3}}違った方法でやる必要がありますそれはチェーンルールと呼ばれています単純な積分のようなものだ。括弧の中の xx {displaystyle x}が １の力を持っている場合にのみ 機能する（線形である） x {\displaystyle x} xまたは 5 x {\displaystyle 5x}のように{\displaystyle 5x}(not x 5 {\displaystyle x^{5}} {\displaystyle x^{5}}or x - 7 {\displaystyle x^{-7}} )。 {\displaystyle x^{-7}}

To do ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {displaystyle \int (2x+4) ^{3} dx}. {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Add １ to power ３ {pos(100,25{\displaystyle 3})} , so it is now (2 x + 4 ) 4 {pos(100,250)} 4 {pos(100,250)} } 4 {pos(100,250)} 4 {pos(100,250)} 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • これを新しい力で割ると ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}}が得られる。 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • これを括弧の導関数で割ると ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}。{\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}to get ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}}を取得します。 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Add constant c {\displaystyle c} to give 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}を与えるために定数{\displaystyle c}c {\displaystyle c}を追加します。 {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

例としては、以下のようなものがあります。

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c (∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {displaystyle ｲｲﾈ!(x+1)^{5} dx={\frac {(x+1)^{6}}{6times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+cleft(because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c (∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {displaystyle int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}}\ dx=int (7x+12)^{-)9} dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8Times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7right)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

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質問と回答

Q:反差別化とは何ですか?


A:微分積分（不定積分ともいう）とは、微積分学においてある関数を求めることです。微分の反対で、ある関数を処理して反微分と呼ばれる別の関数（または関数のクラス）を与えることです。

Q:どのように表現するのですか?


A:一文字で表すとFやGのような大文字のローマ字の形になることが多く、一般に∫f(x) dxのような形で表される。

Q:反差分とはどのようなものですか?


A:ある関数を加工して、反微分と呼ばれる別の関数（または関数のクラス）を与えることです。

Q:積分とどう違うのですか?


A:微分積分は積分と異なり，極限を伴わないので，不定積分と呼ばれます．

Q:微分積分をどのように表現するのか，その例を教えてください．
A:FやGを1文字で表したり、∫f(x) dxを一般的な形で書いたりすることができます。

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