逆（数学）：定義、種類、性質、計算と応用

主な種類

• 加法逆元：数 x の加法逆元は −x である。これは、加法の恒等元である 0 について、x + (−x) = 0 となるためである。
• 乗法逆元（逆数）：0 でない数 x の乗法逆元は 1/x である。乗法の恒等元 1 について、x・(1/x) = 1 となる。0 には乗法逆元はない。
• 逆関数：関数 f が全単射であるとき、逆関数 f−1 をもつ。f−1(y) は、f(x)=y を満たす一意な x を与える。たとえば f(x)=2x のとき、f−1(x)=x/2 である。関数の逆も参照。
• 逆行列：正方行列 A は、AB = BA = I を満たす行列 B が存在するとき可逆である。2×2 行列 [[a,b],[c,d]] では、ad−bc ≠ 0 のときに逆行列が存在し、(1/(ad−bc))[[d,−b],[−c,a]] となる。
• 左逆元・右逆元・擬似逆元：非可換な状況や可逆でない状況では、要素が左逆元または右逆元だけをもち、両方をもたないことがある。特異行列には、最小二乗問題で用いられるムーア・ペンローズ擬似逆行列が存在し得る。

性質と存在

恒等元が存在する場合、逆が存在すれば通常は一意である。群では、すべての要素が一意な逆元をもつ。環と体では、乗法逆元をもつのは単元だけであり、体ではそれは 0 でない要素である。関数が可逆であるためには全単射でなければならない。f が単射でない、または全射でない場合、逆関数は大域的には存在しない。合成と逆は順序を反転させ、逆が存在するとき (g∘f)−1=f−1∘g−1 となる。

計算と例

計算方法は対象によって異なる。算術的な逆は簡単な代数操作で求められ、関数の逆は独立変数について方程式を解く必要があることが多い。行列の逆は、小さい行列では行列式と余因子行列を用い、大きな系ではガウス消去法や数値計算アルゴリズムを用いる。応用上、擬似逆行列は特異値分解によって計算される。

応用と区別

逆は、方程式を解くこと、変換を元に戻すこと、法逆元に依存する暗号アルゴリズム、逆行列を用いる線形方程式系の解法、逆関数から逆微分を導く微積分など、数学と応用の広い範囲に現れる。「逆」という語は異なる概念を指し得る点に注意が必要である。たとえば、円に関する幾何学的反転は、代数的な逆とは別の概念である。関連概念については、追加資料を参照。