躍度（ジャーク）とは 加速度の変化率の定義・単位m/s^3とヤンクを解説

躍度（ジャーク）の定義を基礎から解説 加速度の時間微分＝変化率と単位m/s^3 ベクトルとしての性質と計算式 ヤンクの意味や力との関係 物理学の直感と具体例で理解

著者: Leandro Alegsa

ジャーク（躍度）とは、物体の加速度の変化のことで、時間に関する微分として定義されます。位置の三階時間微分（j = d³x/dt³）に等しく、ジャークはベクトル量です。ただし直線上の1次元運動では符号付きの値として扱えるため、状況により大きさだけを取り出してスカラーとして表現することもあります。呼称としてはジョルト（英）、サージ、まれにラチなどとも呼ばれます。

ジャークは、メートル/秒で測定されます（m / s 3 {\displaystyle m/s^{3}} ）。{\displaystyle m/s^{3}}

単位は国際単位系で m/s^3、次元は L·T^-3 です。角運動（回転運動）では角躍度（angular jerk）を用い、単位は rad/s^3 になります。

定義と記法

  • 速度 v = dx/dt、加速度 a = dv/dt = d²x/dt²、ジャーク j = da/dt = d³x/dt³
  • ベクトル表示では j⃗(t) = d a⃗/dt。1次元なら符号付きスカラー j(t) として扱える。
  • 記号は j または j⃗ を用いることが多い。

性質と直感

  • ジャークは「加速度がどれだけ速く変わるか」を表し、値が大きいと加速の立ち上がりや切り替わりが急峻になります。
  • ジャークを抑える（連続かつ上限を設ける）ことで、機械や人体にとって滑らかで快適な動きになります。
  • 運動のテイラー展開では、位置 x(t) の 3 次項の係数がジャークに対応します。

代表的な例

  • 等加速度運動（a = 一定）では j = 0。加速度が階段状に変化する場合、切り替え瞬間に理想化した j は無限大になります（現実にはフィルタや物理限界で有限）。
  • 単振動 x(t) = A sin(ωt) のとき、a(t) = −A ω² sin(ωt)、j(t) = −A ω³ cos(ωt)。振動数が高いほど |j| は大きくなる。

ジャークの制御と応用

  • 移動体・輸送機器: エレベーター、鉄道、自動車、航空機では、乗り心地や安全性のためジャークを制限した速度・加速度プロファイル（S字加速など）を採用。
  • ロボティクス・CNC: 軌道生成でジャーク上限制御（jerk-limited trajectory）を用いて、機構の振動・共振・摩耗を低減し、精度と寿命を向上。
  • モーションデザイン: アミューズメント機器や映像のカメラワークでも、違和感や酔いを避けるためにジャークを滑らかに設計。
  • 構造・疲労: 大きなジャークは衝撃的な慣性力の立ち上がりを生み、ボルトゆるみや疲労損傷の一因となるため回避が推奨されます。

測定と数値計算の注意

  • センサーの離散データから速度・加速度・ジャークを求めると、微分のたびにノイズが増幅されます。平滑化（ローパス、Savitzky–Golay など）や適切なサンプリングが重要。
  • 連続時間での j = da/dt は、離散時間では差分商で近似され、遅延や量子化誤差の影響を受けます。

ヤンク（力の時間微分）

ヤンクはジャークという言葉で力と考えることができます。力は質量×加速度です。同様に、ヤンクは質量×ジャークです。力の微分でもあります。しかし、物体が光速に近い速度で動いている場合、力は運動量の微分として書かれることが多い。この場合、Yankは運動量の微分の変化率です。

  • 定義: ヤンク Y = dF/dt。単位は N/s（ニュートン毎秒）。
  • 質量が一定なら Y = m·j。質量が時間で変わる系（燃焼するロケットなど）では Y = m·j + (dm/dt)·a となり、単純に m·j とは限りません。
  • 相対論的記述では F = dp/dt を用いるため、ヤンクは Y = d²p/dt²（運動量の時間二階微分）として扱います。

関連する高次導関数

  • スナップ（jounce）: s = dj/dt = d⁴x/dt⁴
  • クラックル、ポップ: さらに高次の時間微分の俗称。理論や制御設計で参照されることがある。

設計上の実務的指針

  • 加速度だけでなくジャークの上限を仕様に含める（「速度・加速度・ジャーク制約」）。
  • プロファイルは台形加速度より S 字（ジャーク制限）を優先し、機械応力と騒音を低減。
  • 評価にはピーク値だけでなく、ジャークの時間積分や快適性指標（RMS など）も併用。

その使用方法

ジャークは工学、特にジェットコースターを作る際に使用されます。人などの弱いものは、大きな加速度や大きなジャークによって損傷を受けることがあります。また、製品を作る過程では、ジャークも考慮しなければなりません。急激な加速度の変化は、非常に大きなジャークを意味します。ジャークにさらされる範囲は、通常使用中の工具の劣化率の良い予測因子であることが多く、他の故障モードの中でも金属疲労の出現によく対応しています。

質問と回答

Q:ジャークとは何ですか?


A:ジャークとは物体の加速度の変化のことです。数学的には、加速度の時間による微分、つまり変化率です。

Q:ジャークには他にどのような呼び方がありますか?


A:ジャークは、jolt（イギリス英語）、surge、lurchとも呼ばれます。

Q:ジャークはベクトル値ですか、スカラー値ですか?


A:ジャークはベクトルであり，スカラー値を表す言葉はありません。

Q:ジャークはどのように測定されますか?


A:ジャークはメートル毎秒立方体（m/s^3）で測定されます。

Q:ヤンクは、ジャークの観点からどのように考えることができますか?


A:ヤンクは、ジャークの観点から力と考えることができます。力は質量×加速度であり、同様に、ヤンクは質量×ジャークであり、それは力の微分でもあります。

Q:物体が光速の近くを移動するとき、これはどのように変わるのでしょうか?


A:物体が光速近くを移動する場合、力は運動量の微分として書くことができます。この場合、Yankはその微分の変化率になります。


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