線形運動量、並進運動量、または単に運動量は、身体の質量とその速度の積である。

p = m v {displaystyle \mathbbf {p} =m\mathbf {v} } }。 {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }

ここで、pは運動量、mは質量、vは速度である。

運動量とは、身体が動いているときの「力」、つまり、他の身体にどれだけの力を与えることができるかを意味すると考えることができます。例えば

  1. ボウリングのボール（大きな質量）は、非常にゆっくりと（低速）移動して、速く（高速）投げられる野球（小さな質量）と同じ運動量を持つことができます。
  2. 弾丸は、並外れた速度のために非常に高い運動量を持つ別の例です。
  3. 非常に低い運動量がより大きな運動量を引き起こすもう一つの例は、インド亜大陸がアジアの残りの部分に向かって押し寄せ、ヒマラヤ山脈の地域での地震のような深刻な被害を引き起こしています。この例では、亜大陸は、年に数インチのようにゆっくりと動いていますが、インド亜大陸の質量は、非常に高くなっています。

運動量は方向と大きさを持つベクトル量である。単位はkg m/s（キログラム・メートル・パー・セカンド）またはN s（ニュートン・セカンド）です。

運動量は保存量であり、システムの初期運動量の合計がシステムの最終運動量の合計と等しくなければならないことを意味します。運動量の合計は変化しません。

運動量の性質と単位

運動量はベクトル量であり、大きさと向きを持ちます。慣性系では速度の向きと同じ向きになります。記号としては太字のpや矢印付きのp（→p）で表すことが一般的です。

単位・次元：運動量の単位は kg·m/s（キログラム・メートル毎秒）で、力積の単位である N·s（ニュートン秒）と同じです。次元解析では [p] = M L T−1 となります。

運動量と力・衝量（インパルス）の関係

ニュートンの運動法則を一般化すると、力と運動量の関係は次のようになります：

F = dp/dt（外力Fは運動量pの時間変化率）

この式を時間で積分すると、衝量（インパルス）Jと運動量変化Δpの関係が得られます：

J = ∫ F dt = Δp

つまり、ある力がある時間にわたって物体に作用すると、その衝量が物体の運動量を変化させます。衝突やブレーキなどの現象を扱うときに非常に有用です。

運動量保存則（系の運動量保存）

閉じた系（外部からの合力が0）のとき、系全体の運動量は時間とともに一定です。数学的には：

Σp_initial = Σp_final

あるいは系全体に作用する外力がゼロであれば、系の運動量の時間微分はゼロ：d/dt Σp = ΣF_ext = 0 となります。

この法則は、衝突（弾性衝突・非弾性衝突）における速度の解析に広く用いられます。エネルギー保存と合わせて使うと、弾性衝突の結果を完全に決定できますが、非弾性衝突では運動エネルギーが熱や変形に変わり得る点に注意が必要です。

衝突の例（1次元・2体系）

  • 弾性衝突：運動量と運動エネルギーの両方が保存される。二体問題では解析的に衝突後の速度を求められる。
  • 完全非弾性衝突（くっつく場合）：運動量は保存されるが、運動エネルギーは減少する。衝突後は二つの物体が同じ速度で運動する。

単純な例：質量m1、速度u1 と 質量m2、速度u2 が正面衝突して一緒にくっつく場合、最終速度vは

v = (m1 u1 + m2 u2) / (m1 + m2)（運動量保存より）

系の重心と運動量

多体系全体の運動量は、系全体の質量Mと重心速度V_cmの積で表せます：

P_total = M V_cm

このため、外部力がゼロのとき重心は等速直線運動をし、系全体の運動が重心の運動と内部運動に分けて扱えます。

特殊相対性理論における運動量（補足）

高速（光速に近い）運動を扱う場合、古典力学の p = mv は不十分です。特殊相対性理論では運動量は

p = γ m v（γ = 1 / sqrt(1 − v²/c²)）となり、速度が光速cに近づくとγが大きくなり、運動量は無限大に発散します。さらに質量 0 の光子も運動量を持ち、光子の場合は p = E / c（Eはエネルギー）です。

よくある誤解と注意点

  • 運動量は「力」そのものではなく、力の影響しやすさ（運動状態の保持の度合い）を表す量です。
  • 運動量保存は外部からの合力がゼロのときに成立します。地面や外部の力がある場合は系を適切に定義する必要があります。
  • 速度が負でも運動量の符号が負になるだけで、ベクトルとして方向を示します。

まとめ

運動量 p = m v は質量と速度の積で表されるベクトル量で、単位は kg·m/s（= N·s）です。外力がなければ総運動量は保存され、力と衝量の関係 F = dp/dt、J = Δp により力学現象を解析できます。低速（古典）から高速（相対論）まで、運動量の概念は力学の基本となる重要な量です。