大数の法則
大数の法則(LWN)は統計学の定理である。ランダムな結果が起こるいくつかの過程を考えてみましょう。例えば、あるランダム変数が繰り返し観測されたとする。すると、観測された値の平均は、長期的には安定しています。つまり、長い目で見れば、観測値の平均値は期待値に近づいていくということです。
サイコロを振るとき、1、2、3、4、5、6の数字は可能性のある結果です。これらはすべて等しく可能性がある．結果の母集団平均（または「期待値」）は
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
下のグラフは、ダイスの転がし方の実験結果です。この実験では、最初はダイスの平均値が大きく変動していることがわかります。LLNで予測されたように、観測数が多くなるにつれて、平均値は期待値3.5付近で安定します。
歴史
ヤコブ・ベルヌーイは最初にLNLを説明した。彼は、それが最も愚かな人でも本能的にそれが真実であることを知っているように、それは非常に単純だったと言います。これにもかかわらず、それは彼が良い数学的証明を開発するのに20年以上かかった。彼はそれを発見した後、彼は1713年にアルスConjectandi（想像の芸術）で証明を公開した。彼はこれを「黄金定理」と名付けた。この定理は一般的に「ベルヌーイの定理」として知られるようになりました（同名の物理学の法則と混同されないように）1835年には、S.Dポワソンがさらに「La loi des grands nombres」（大数の法則）という名前で記述しました。その後、それは両方の名前で知られていたが、"大数の法則"が最も頻繁に使用されています。
他の数学者もこの法則をより良いものにするために貢献した。そのうちのいくつかは、チェビシェフ、マルコフ、ボレル、カンテリ、コルモゴロフであった。これらの研究の後、現在では2つの異なる形の法則があります。一つは"弱い"法則と呼ばれ、他の"強い"法則と呼ばれています。これらの形態は、異なる法律を記述していません。観察された確率や測定された確率の実際の確率への収束を記述するための異なる方法を持っています。法則の強い形は弱い形を暗示している。
質問と回答
Q:大数の法則とは何ですか?
A:大数の法則とは、ランダムな過程を繰り返し観測した場合、観測値の平均が長期的に安定することを示す統計学の定理です。
Q: 大数の法則とはどのような意味ですか?
A: 大数の法則とは、観測回数が増えるにつれて、観測値の平均が期待値に近づいていくことを意味します。
Q: 期待値とは何ですか?
A: 期待値とは、ランダムプロセスの結果の母平均のことです。
Q: サイコロを振ったときの期待値とは?
A: ダイスの期待値は，可能な結果の合計を結果の数で割ったものです: (1+2+3+4+5+6)/6=3.5.
Q:本文中のグラフは、大数の法則との関係で何を示していますか?
A:グラフは、ダイスの出目の平均が最初は大きく変動していることを示していますが、LLNの予測通り、観測回数が多くなると平均は期待値である3.5付近で安定することがわかります。
Q: 大数の法則はサイコロの出目にどのように適用されるのですか?
A:サイコロの出目の数が増えると、出目の平均が期待値である3.5に近づいていくので、大数の法則はサイコロの出目に当てはまります。
Q:統計学で大数の法則が重要なのはなぜですか?
A: 大数の法則が統計学で重要なのは、データが多数の観測値で平均化される傾向があるという考え方に理論的根拠を与えているからです。信頼区間や仮説検定など、多くの統計手法の基礎となるものです。
