十五角形（15辺をもつ多角形）

基本的性質

正十五角形では、隣り合う頂点に対する中心角は360/15＝24°であり、各内角は(15−2)・180/15＝156°である。内角の和は13・180＝2340°となる。15角形の対角線の本数はn(n−3)/2＝90本である。その対称群は位数30の二面体群D15で、15個の回転と15個の反射から成る。

公式と座標

正十五角形の面積および計量的な関係は、閉じた形の式で表せる。辺の長さをaとすると、面積は(15/4)・a2・cot(π/15)である。外接円半径をRで表すと、面積は(15/2)・R2・sin(2π/15)となる。複素平面における頂点座標は、k＝0,…,14に対するexp(2πik/15)という15乗根に比例する。

作図と代数的事実

15＝3・5であり、3と5はいずれもフェルマー素数であるため、正十五角形は定規とコンパスで作図可能である。cos(2π/15)のような三角関数値は入れ子の平方根を用いて表せる。このため、正三角形と正五角形の作図を組み合わせた明示的な古典的作図が可能になる。

関連図形と例

正凸形のほか、同じ15頂点を用い、k個おきの頂点を結んで星形多角形を描くこともできる。代表的な星形には{15/2}、{15/4}、{15/7}がある。十五角形は、敷き詰めの近似、装飾デザイン、初等幾何学における多角形分割の問題などに現れる。

15辺をもつ多角形に関する一般的な参考情報は、作図手順、三角恒等式、対称性の分類を扱う十五角形の資料を参照。