周長（幾何学）— 平面図形の周囲の長さ

定義と一般的な公式

多角形では、周長はすべての辺の長さの和に等しい。したがって、辺の長さが s1、s2、…、sn である多角形の周長 P は、P＝s1+s2+…+sn と表される。特殊な例として、1辺が a の正方形では P＝4a である。長さを l、幅を w とする長方形では、周長は P＝2(l+w) となる。一般の場合については多角形を参照。

曲線をもつ図形では、その図形が円である場合、周長はしばしば円周と呼ばれる。円の円周 C は、半径を r、直径を d とすると、C＝2πr＝πd と書ける。ここでπは数学定数であり、円周率を参照。円については円も参照。

滑らかな曲線と楕円の計算

境界が直線からなる多角形ではない場合、周長は閉曲線の弧長である。微積分学では、曲線に沿った無限小の距離を加え合わせる積分によってこれを計算する。単純な閉形式の周長をもたない図形もあり、たとえば楕円の正確な周長には楕円積分が関わるため、実用上は近似値が用いられる。ラマヌジャンによる公式などのよく知られた近似式は、楕円の周長を非常に高い精度で見積もる。

歴史と応用

境界の長さを測るという考え方は、畑や土地の境界線を測定した古代の測量者にまでさかのぼる。ギリシア人とエジプト人は、土地測量と幾何学的推論の初期の技法を発展させた。現代では、柵の設計、建設における縁取り材の長さの算定、競走路や競技場の長さの決定、縁の長さが重要となる部品の製造などに周長が用いられる。たとえば、サッカー場の外形すなわち周長は敷地計画に利用される。具体的なフィールド寸法についてはサッカーを参照。

重要な区別と注目すべき事実

• 周長と面積：周長は境界の長さを測り、面積は境界に囲まれた領域を測る。両者は関連するが、異なる量である。
• 用語：円周という語は、一般に円および円弧に対して用いられる。
• 単位：周長にはメートル、フィートなどの長さの単位を用い、図形の向きには依存しない。
• 等周不等式の原理：一定の周長をもつすべての平面図形のうち、最大の面積を囲むのは円である。これは幾何学における古典的な結果である。

さらに技術的な解説や公式表については、初等幾何学の参考書や数学ハンドブックを参照するとよい。文脈中の一般的な資料として幾何学、専門的な項目として多角形、円、楕円も参照。

歴史的な注記や定数については円周率および古典幾何学の項目を、スポーツや計画における応用についてはサッカーの規格化されたフィールド配置の例を参照。追加の概念的背景は、菱形および円周で確認できる。