平面波：数学的記述、性質と応用

数学的記述

最も単純な単色平面波は、f(r,t) = A cos(k·r - ωt + φ)の形をした正弦関数で表される。ここで、kは波数ベクトル、ωは角周波数、Aは振幅である。等位相面k·r = 定数は、kに垂直な平面となる。平面波はスカラー値の場合もベクトル値の場合もある。電磁平面波は、電場および磁場のベクトルがkに直交するというマクスウェル方程式も満たす。

性質と一般的な形態

• 単色と広帯域：単色平面波は単一の周波数をもつ。より一般的な場は、平面波を重ね合わせることで構成できる。
• 一様平面波は空間的に減衰せずに伝搬する。一方、エバネッセントな平面波成分は指数関数的に減衰し、真に伝搬する平面波ではない。
• 平面波は、波数ベクトルの方向、偏光（ベクトル波の場合）、振幅、および位相によって特徴づけられる。

平面波はしばしば波束の分解という文脈で導入される。十分に正則な任意の場は、平面波の積分、すなわちフーリエ変換として表すことができる。このため平面波は、線形偏微分方程式や散乱問題を解くための便利な基底となる。

応用には、遠方界における光のモデル化、アンテナ解析の簡略化、量子散乱理論における試行解、固体物理学における平面波展開の基礎などがある。実用的な系が真に無限の平面波を生成することはなく、実際のビームは有限の広がりとエネルギーをもつ。

限界と区別として、平面波は全エネルギーと空間的広がりが無限である理想化であり、点源から生じる球面波とは異なる。境界値問題では、物理的な境界条件に合わせるため、平面波の重ね合わせがしばしば用いられる。さらに一般的な背景については、平行平面および関連する波の概念を参照。