ステファン＝ボルツマンの法則：黒体放射と温度の4乗則

数式形式と実用上の修正

完全な黒体では、単位面積当たりの放射出力は R＝σT4 となる。実在の表面は完全には放射しないため、その放射は放射率ε（0≤ε≤1）によって低減される。このような表面では、正味の放射出力は一般に R＝εσT4 と記される。恒星のような広がりをもつ物体では、全光度は L＝4πR2σT4 に従う。この式でRは物体の半径である。

成立の経緯と理論的基礎

この法則は19世紀後半にヨーゼフ・シュテファンが経験的に定式化し、ルートヴィヒ・ボルツマンが熱力学的な議論によって理論的基礎を与えた。その後、量子力学とプランクの法則により厳密な導出が得られた。プランクのスペクトル放射輝度を全波長および立体角について積分すると、T4への依存性とσの値が導かれる。

用途と例

• 天体物理学：観測された放射束から恒星の光度と有効温度を推定する。
• 気候・地球科学：惑星表面からの外向き長波放射とエネルギー収支を評価する。
• 工学：炉、断熱材、赤外線温度測定における放射熱伝達を計算する。
• 実験物理学：黒体光源および熱検出器を校正する。

限界と重要な区別

ステファン＝ボルツマンの法則が厳密に適用されるのは、黒体として、または放射率が既知の灰色体として振る舞う熱平衡状態の物体である。この法則はスペクトル分布を表すものではなく、スペクトル分布はプランクの法則で与えられる。また、非熱的過程による放射も扱わない。表面の放射率は波長や方向により変化しうるほか、この法則は光学的に厚く温度が一様な放射体を仮定する。実際には、層状材料、半透明媒質、または大きな温度勾配をもつ物体では補正が必要となる。