2つ以上の量の和とは、加法と呼ばれる操作でそれらを合わせた結果である。初等算術では、数を足すことはその大きさをまとめて1つの値にすることを意味する。たとえば3と5の和は8である。より一般に、和は数、ベクトル、関数、または加法が定義された他の対象からなる項の一覧の合計を指すことがある。どの文脈でも、寄与を積み上げるという基本的な考え方は変わらない。
記法と基本的性質
和はさまざまな形で表される。単純な有限列は 1 + 2 + 3 のようにプラス記号で書く。より簡潔な形として、シグマ記号（∑）を用いて数列の項の総和を表すことができる。たとえば ∑_{k=1}^n a_k のように書く。加法は、和を支配するいくつかのよく知られた性質を満たす。
- 交換法則: a + b = b + a。
- 結合法則: (a + b) + c = a + (b + c)。これにより、結果を変えずにまとめ方を変えられる。
- 単位元: 0 は加法単位元であり、a + 0 = a である。
- 線形性: 和はスカラー倍に対して分配的であり、それぞれの引数について線形である。
和の種類
有限和は、決まった個数の項を足し合わせるもので、算術と代数の基礎である。無限和、または級数は、部分和の極限である。このような級数に定義された和があるかどうかは、収束するかどうかにかかっている。級数には絶対収束するもの、条件収束するもの、発散するものがある。有限和の特別な形としては、代数や金融で有用な閉じた形の式をもつ等差数列と等比数列がある。
和は多くの数学的構成に現れる。リーマン和は有限和の極限として積分を近似する。確率における期待値は、結果の重み付き和である。離散畳み込みは、積を足し合わせることで数列を組み合わせる。アルゴリズムでも和は重要で、累積和は途中までの合計を効率よく計算し、望ましい形に並んだ式は打ち消し合いによって簡単になる。
歴史的に見ると、量を加えることは最も古い数学的操作の1つであり、体系的な記法と手法は何世紀にもわたって発展してきた。∑のような現代的な簡潔記法は、数学が数列や級数を形式化するにつれて標準となった。加法と総和の入門には、初等的な教科書や算術・級数の資料が役立つ。より進んだ内容については、解析、代数、離散アルゴリズムの資料を参照するとよい。加法の基本的な概要については、入門資料や例から始めるとよい。