二体問題（古典力学）｜相互作用する2物体の運動とケプラー問題

数学的な縮約と主要な性質

元の定式化では、各物体に3自由度ずつ、合計6自由度があるが、この問題は大きく簡単になる。重心運動と相対運動を分離すると、換算質量を持つ等価な一物体問題に帰着する。全運動量、全角運動量、エネルギーといった保存則により、運動は平面内に制限され、問題は空間座標1つとその共役運動量まで減る。

軌道の種類と厳密解

重要な逆二乗中心力（ケプラー問題）では、相対軌道は円錐曲線となり、エネルギーと角運動量に応じて円、楕円、放物線、双曲線のいずれかをとる。束縛系は楕円軌道をたどり、ケプラーの法則に従う。非束縛の遭遇では放物線または双曲線となる。ほかの中心力も求積によって扱えるが、逆二乗の場合や調和力の場合のような単純な閉軌道を与えるものは少ない。

保存量と分類

• 保存される量: 全運動量、全角運動量、全エネルギー。
• よく現れる軌道: 円運動（特殊例）、楕円運動（束縛）、放物線／双曲線（散乱）。

歴史、応用、一般化

二体モデルは、ニュートンによる惑星運動の説明を支え、天体力学の発展の中心となった。実用面では、惑星の周りを回る人工衛星、連星、そして非相対論的量子力学における水素原子（換算質量を用いる）を記述する。2体を超える相互作用では一般に閉形式の解はなく、数値的手法が必要になる。同様に、一般相対論では二体問題はより複雑で、通常は近似的に扱われる。

区別と注目点

二体問題は中心力に対して可積分であり、n体問題への入口として教えられることが多い。理想化では、2次元で剛体の円として扱うことも、3次元で球として扱うこともあるが、本質的な数学は力の対称性に依存している。より深い解析手法や現代的な扱いについては、高等数学や計算天体力学に関する資料を参照するとよい。