カイ二乗分布（χ²）：定義、性質、応用

主な特徴

カイ二乗分布は自由度 ν によって完全に定まり、ν は正のパラメータであり、多くの場合、二乗和に寄与する独立な成分の数に対応する。重要な数値的性質として、平均は ν、分散は 2ν である。ν が小さいとき、分布の形は右に歪んでおり、ν が大きくなるにつれてより対称的になる。自由度が大きい場合には、分布はおおよそ正規分布で近似できる。解析的にはガンマ関数を用いて表現でき、その確率密度は形状パラメータ ν/2 と尺度パラメータ 2 に依存する。

起源と数学的背景

カイ二乗分布は歴史的には、分散に関する仮説の検定や適合度の問題と関連して、20世紀初頭に発展した。その基礎には、標準正規変数を二乗したものを加えると、この分布族が得られるという事実がある。この加法性と独立な正規変数の和との関係により、カイ二乗分布は古典的な統計的推測理論で中心的な役割を果たす。また、尤度比検定などの漸近的な結果においても重要である。

代表的な用途と例

カイ二乗分布の実用的な応用には、次のようなものがある。

• 適合度検定：観測度数を、あるモデルの下で期待される度数と比較する。
• 分割表における独立性検定または同質性検定。
• 正規母集団の分散に関する推測：σ²についての信頼区間と検定。
• 帰無仮説が真であるときの尤度比検定を含む、多くの検定統計量に対する漸近的な基準分布。

これらの検定での利用が信頼できるものとなるには、観測値の独立性や十分な標本サイズといった仮定が満たされる必要がある。多くの文献では、こうした条件と実用的な近似がまとめられている。背景として、理論分布に関する一般的な理論的資料、および統計的有意性と信頼区間についての詳しい説明を参照するとよい。

注目すべき事実と区別

さらに留意すべき点として、カイ二乗分布は ν が大きい場合を除いて対称ではなく、その分位点は広く表にまとめられ、統計ソフトウェアにも実装されている。この分布は他の分布と密接な関係をもつものの、それらとは区別される。たとえば正規分布ではなく、尺度変換されたガンマ分布である。また、非負の値についてのみ定義される。よく知られた検定の多くは、帰無仮説の下でカイ二乗比較に帰着する。その証明は、独立性とモデルが正しく指定されていること、ならびに帰無仮説が真であるという仮定に依存している。

実務において、カイ二乗の枠組みは、データとモデルの期待との食い違いを測るための解釈しやすい尺度を提供する。観測された χ² 値が大きいほど、データとモデルの期待との不一致は大きいことを示す。数学的に扱いやすく、正規変数の二乗和と直接結び付いているため、カイ二乗分布は理論統計学と応用統計学の双方における基礎的な道具であり続けている。