円柱 (数学)

円柱は、最も基本的な湾曲した幾何学的形状の一つで、円柱の軸と呼ばれる所定の線分から一定の距離にある点で形成される表面を持つ。円柱の軸と呼ばれる線分から一定の距離にある点で表面が形成され、円柱のプリズムのような形状と考えられる。表面も、その中にできる立体も、どちらも円柱と呼ぶことができる。円柱の表面積と体積は古くから知られている。

微分幾何学において、円柱とは、より広義には、1パラメータの平行線ファミリーで囲まれた罫線面と定義される。断面が楕円、放物線、双曲線である円柱をそれぞれ楕円柱、放物線柱、双曲線柱と呼ぶ。

直円柱

一般的な使い方

一般に円柱とは、直円柱の有限な断面を意味すると考えられている。すなわち、図（右）のように、生成線が底面に垂直で、両端が閉じて2つの円形の表面を形成している円柱である。円柱が半径 $r$ と長さ（高さ）hを持つとすると、その体積は次のように与えられる。

$V$ $= π 2 rh$

であり、その表面積は

上面の面積 $（π 2 r ）＋α$
底面の面積 $(π 2 r)+。$
脇の部分（ $2π rh$ ）です。

したがって、上部や下部（横方向の面積）を抜きにして、表面積は

$A$ $＝2π rhです$ 。

トップとボトムで、表面積は

$A$ $＝2π r 2 ＋2π rh ＝2π r （ r ＋ h ）と$ なります。

ある体積に対して、表面積が最も小さい円柱は、 $h ＝2 r$ である。与えられた表面積に対して、最大の体積を持つ円柱は、 $h = 2 r$ である。つまり、円柱は立方体（高さ = 直径）に収まるということである。

ボリューム

高さ $h$ 単位、半径 $r単位$ の底面を持つ直円柱で、原点が底面の中心にあり、高さが正のx軸に沿って測定されるように座標軸が選択されている。原点から $x$ 単位の距離にある平面の断面は、 $A (x)$ 平方単位の面積を持つ。

A ( x ) = π r {\\2 r^{2}}。 $A(x)=\pi r^{2}$

または

A ( y ) = π r {\\2 r^{2}}。 $A(y)=\pi r^{2}$

体積の要素として、底面積 $Aw i$ 平方単位、厚さ $Δ i x単位$ の右円柱がある。したがって、V立方単位を右円柱の体積とすると、リーマン和によって

V o l u m e o f c y l i n d e r = lim | Δ 0→ | ∑ i = n1 A ( w i ) Δ i x {\\\\\ cylinder} =\lim _{|||\\ to 0||}}sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}。 $\mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x$

= ∫h0 A ( y ) d2 y {\\\\}A(y)^{2}\,dy}。 $=\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy$

= ∫ h 0π r d2 y {\\\\\\\\\\\\\\\ $=\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy$

= π r h2 {\\\\\\\\\\\\\⁾⁾。 $=\pi \,r^{2}\,h\,$

円筒座標を用いて、体積を積分すると

= ∫ h0 ∫ π02 ∫ r0 s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\ _{0}^{2\pi }\ _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi ╲dz}。 $=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz$

= π r h2 {\\\\\\\\\\\\\⁾⁾。 $=\pi \,r^{2}\,h\,$

円筒形の断面

円筒断面とは、円筒と平面の交点のことである。直円柱の場合、4つの可能性がある。円柱に接する平面が、1本の直線で円柱に接する。平面を平行に移動させると、円柱と交わらないか、2本の平行線で交わる。他のすべての平面は、円柱と楕円で交差するか、円柱の軸に垂直な場合は円で交差する。

その他のシリンダーの種類

楕円柱（サイリンドロイド）は二次曲面で、直交座標では次の式で表される。

( x a ) + (2 y b ) = . {21˶ˆ꒳ˆ˵ ) +˶ˆ꒳ˆ˵ ) = 1.0 $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.$

この式は、通常の円柱（ $a ＝ b）を$ 一般化した楕円柱の式である。さらに一般的なのは、一般化された円柱で、その断面はどんな曲線でもよい。

円柱は、少なくとも1つの座標（ここでは $z）が方程式に$ 現れないため、縮退二次関数となります。

斜円筒は、上面と下面が互いにずれている。

円筒には、もっと変わったタイプもあります。それは、虚数楕円体です。

( x a ) + (2 y b ) = - {\\\\({21x}{a}\right)^{2}+\({y}{b}\right)^{2}=-1}。 $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1$

双曲面の円柱のことです。

( x a 2) - ( y b ) = {\\\({21frac {x}{a}}}right)^{2}-̫͡{{y}{b}}right)^{2}=1}。 $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

と放物線状の円柱があります。

x +2 a2 y 0= ... {displaystyle x^{2}+2ay=0.̫⃝}。 $x^{2}+2ay=0.\,$

楕円形の円筒

射影幾何学では、円柱は単に頂点が無限大の円錐であり、透視図法で円柱が空に向かって円錐に見えることと視覚的に対応しています。

射影幾何学

射影幾何学では、円柱は単に頂点が無限大にある円錐です。

これは、縮退円錐の定義において、円筒円錐を考慮する必要がある場合に有効です。

質問と回答

Q:円柱とは何ですか?

A: 円柱は3次元の幾何学的形状で、円柱の軸と呼ばれる所定の線分から一定の距離にある点によって表面が形成されています。円柱は円形のプリズムと考えることができ、表面と内部にできる立体形状の両方を円柱と呼ぶことができます。

Q:円柱の表面積や体積はいつから知られていたのでしょうか?

A:円柱の表面積と体積は、古くから知られています。

Q:楕円柱、放物線柱、双曲柱とは何ですか?

A:楕円柱、放物線柱、双曲柱は、それぞれ断面が楕円、放物線、双曲線になる円柱のことです。

Q:微分幾何学において、円柱はどのように定義されますか?

A:微分幾何学では、円柱は、より広義には、平行線の1パラメータ族が横切る支配曲面と定義されます。

Q:何かが「支配」されるとはどういう意味か?

A:「罫線が入っている」とは、何らかの方法で直線が引かれていることです。

Q:円柱は一種類しかないのですか?

A:いいえ、楕円柱、放物線柱、双曲線柱など、断面が異なるさまざまな種類の柱があります。