双曲線は、円錐断面の一種です。他の3つのタイプの円錐断面（放物線、楕円、円）と同様に、円錐と平面が交差してできた曲線です。双曲線は、平面が二重円錐の両半分を交差させて、お互いに正確に似ていますが、反対方向に開いている2つの曲線を作成するときに作成されます。これは、円錐の軸と平面の間の角度が、円錐の側面の線と平面の間の角度よりも小さい場合に発生します。

双曲線は自然界の多くの場所で見られる。例えば、他の物体の周りを公転している物体は、二度と戻ってこないので、双曲線の形で動くことができます。日時計では、時間の経過とともに影の先端が辿る道が双曲線になっています。

最もよく知られているハイパーボラスの一つは、方程式 f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x{\displaystyle f(x)=1/x}} のグラフである。

定義と標準形

平面上の双曲線は、2つの定点（焦点）F1, F2に対して、任意の点Pについて「|PF1 − PF2| が定数（= 2a）」となる点の軌跡として定義できます。この定数が正の値を持つとき、得られる曲線は二つの分離した枝からなります。

中心が (h, k) にある標準形は次の2通りです。

  • 横開き（左右に開く）双曲線:
    (x − h)^2 / a^2 − (y − k)^2 / b^2 = 1
  • 縦開き（上下に開く）双曲線:
    (y − k)^2 / a^2 − (x − h)^2 / b^2 = 1

ここで a > 0, b > 0, 焦点は中心からの距離 c で与え、c^2 = a^2 + b^2 となります。離心率 e = c / a は常に 1 より大きくなります（e > 1）。

漸近線（アシンポート）とグラフの描き方

双曲線の枝は無限遠で直線に近づきます。この直線が漸近線です。中心 (h,k) を用いると、漸近線の方程式は次のようになります。

  • 横開きのとき: y − k = ± (b / a) (x − h)
  • 縦開きのとき: y − k = ± (a / b) (x − h)

グラフを描く簡単な手順:

  • 中心 (h,k) を描く。
  • 横方向に a、縦方向に b の長方形を中心に対称に描き、その対角線が漸近線の方向を示す。
  • 漸近線を補助に、頂点 (h ± a, k)（横開きの場合）を起点にして枝を滑らかに描く。

代表的な性質・公式

  • 焦点間の差の絶対値: |PF1 − PF2| = 2a（任意の点Pに対して）
  • 離心率: e = c / a = sqrt(1 + (b^2 / a^2)) > 1
  • 漸近線の方程式: y − k = ± (b/a)(x − h)（横開きの場合）
  • 準線（directrix）: 各焦点に対応して直線があり、頂点からの幾何関係と離心率で定義される
  • 共役双曲線（conjugate hyperbola）: −(x − h)^2 / a^2 + (y − k)^2 / b^2 = 1。元の双曲線と漸近線を共有する
  • パラメトリック表示（一例）:
    x = h + a cosh t, y = k + b sinh t（t ∈ R） — 各枝を与える双曲線の双曲関数による表現
  • 矩形双曲線（直交双曲線）: xy = c は、原点を中心とする特殊な双曲線で、漸近線が直交（x 軸と y 軸）する

極座標表示（焦点を原点に置く場合）

焦点を原点に置き、双曲線の離心率を e (>1)、対応する準線までの距離を d とすると、極座標での表現は次の形です。

r = (e d) / (1 ± e cos θ)

符号の選び方は準線の位置に依存します。これは一般的な円錐曲線の極形式と対応します。

反射性と応用例

双曲線には反射性質があり、「一方の焦点から発した光線が双曲線の枝で反射すると、もう一方の焦点から出た線の延長方向に進む」という特徴があります。これにより次のような応用があります。

  • 天体力学: ある天体に対する過速の小天体（e > 1）の軌道は双曲線軌道となり、惑星系を一度きり通過して去る（放物線は境界ケース e = 1）。
  • 測位・測距の理論: 時刻差測定（TDOA）などで、差が一定となる地点の軌跡が双曲線になるため、過去には LORAN 等のハイパーボリック測位法が使われた。
  • 光学・電波反射器: 双曲線の反射特性を利用して特定の焦点へ向けて集光または拡散させる設計が可能（例: 一部の望遠鏡で用いられる双曲面鏡）。
  • 建築・構造: 冷却塔などの一部構造は回転双曲面（双曲線の回転面）で近似され、強度と安定性に寄与する。
  • 日時計: 日時計の影の軌跡が一定条件で双曲線になる場合がある。

例題：具体的な双曲線

式 (x^2 / 9) − (y^2 / 4) = 1 を考えると、中心は原点、a = 3, b = 2、c = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt(13) ≒ 3.606、離心率 e = c / a ≒ 1.202 となります。漸近線は y = ± (2/3) x です。頂点は (±3, 0)、焦点は (±√13, 0) にあります。

まとめ（覚えておくべき点）

  • 双曲線は円錐曲線の一種で、二つの分離した枝からなる。
  • 標準形、漸近線、焦点・頂点・離心率の関係（c^2 = a^2 + b^2）は頻繁に使う基本公式である。
  • 物理や工学、測位など多くの分野で実際的な応用がある。