双曲線
双曲線は、円錐断面の一種です。他の3つのタイプの円錐断面（放物線、楕円、円）と同様に、円錐と平面が交差してできた曲線です。双曲線は、平面が二重円錐の両半分を交差させて、お互いに正確に似ていますが、反対方向に開いている2つの曲線を作成するときに作成されます。これは、円錐の軸と平面の間の角度が、円錐の側面の線と平面の間の角度よりも小さい場合に発生します。
双曲線は自然界の多くの場所で見られる。例えば、他の物体の周りを公転している物体は、二度と戻ってこないので、双曲線の形で動くことができます。日時計では、時間の経過とともに影の先端が辿る道が双曲線になっています。
最もよく知られているハイパーボラスの一つは、方程式 f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x
} のグラフである。
双曲線は、二重円錐と平面の両半分の交点である。
定義と方程式
双曲線を構成する2つの切断された曲線は、腕や枝と呼ばれています。
枝が最も近くにある2点を頂点と呼びます。この2点の間の線を横軸または長軸という。横軸の中点は双曲線の中心である．
中心から大きく離れると、双曲線の枝は2本の直線に近づく。この2本の直線を漸近点と呼ぶ。中心からの距離が大きくなるにつれて、双曲線は漸近点にどんどん近づいていくが、漸近点と交差することはない。
共役軸または小軸は、横軸に対して垂直、または直角である。共役軸の終点は、頂点と交差し、横軸に直角なセグメントが漸近軸と交差する高さにある。
直交座標系の原点を点(0,0)とし、x軸を横軸とする双曲線は、次式のように書くことができる。
x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. {displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.} 
aは中心から頂点までの距離である。横軸の長さは2aに等しい. bは頂点から漸近点までの直角線分の長さである.共役軸の長さは2bに等しい．
上記のタイプの双曲線の2つの枝は、左右に開きます。枝が上下に開き、横軸をy軸とすると、双曲線は次式のように書ける。
y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. {displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1.} 
双曲線のグラフ(赤の曲線)。非対称点は青の破線で示されている。中心をCとし、2つの頂点は-aとaにある。
質問と回答
Q:双曲線とは何ですか?
A:双曲線は円錐断面の一種であり、円錐と平面が交わることでできる曲線である。平面が二重円錐の両半分に交差するとき、互いによく似た、しかし反対方向に開いた2つの曲線ができるのです。
Q:双曲線はどのように作られるのですか?
A:双曲線は、平面が二重円錐の半分と交差したときに作られ、互いによく似た、しかし反対方向に開いた2つの曲線を作り出します。これは、円錐の軸と平面との間の角度が、円錐の側面の線と平面との間の角度より小さいときに生じます。
Q:自然界で双曲線の例はどこにあるのでしょうか?
A:双曲線は、自然界の多くの場所で見ることができます。例えば、他の物体の周りを公転している物体（決して戻ってこない）は、双曲線の形で動くことがあります。日時計の場合、影の先端が時間とともにたどる道も双曲線になる。
Q: 双曲線のよく知られた一例を記述する方程式は何でしょうか?
A:双曲線を記述する方程式の有名な例の1つは、f(x)=1/x です。
Q: 双曲線以外の円錐形の種類には何があるか?
A:放物線、楕円、円などがあります。
Q:これらの種類は、それぞれどのように違うのですか?
A:放物線はU字型で頂点が1つ、楕円は楕円形で焦点が2つ、円は頂点も焦点もない、そして双曲線は中心点から外側に角度の異なる2つの曲線が伸びています。
