虚数
虚数とは、実数と虚数の単位であるiを組み合わせた数であり、iはi 2 = -1 {\displaystyle i^{2}=-1
}と定義される。これらは、正の実数ではなく負の実数の平方根であるという点で、負の実数とは別個に定義されている。これは実数では不可能である。なぜならば、負の実数を得るためにそれ自身を乗算する実数は存在しないからである（例えば、3*3 = 9 と -3*3 = 9）。
それらについての一つの考え方として、虚数は負の数に対して負の数は正の数に対して負の数は正の数であると言うことができます。もし私が「-1マイルで東に行く」と言ったら、それは私が「1マイルで西に行く」と言っていたのと同じ意味です。もし私が「iマイルで東に行く」と言えば、「1マイルで北に行く」と言っていたのと同じ意味になります。もし私が"go east by -i mile"と言えば、"go south by 1 mile"と言っていたのと同じ意味になります。
足し算も簡単です。もし私が「1+iマイルで東に行く」と言ったら、「1マイルで東に行き、1マイルで北に行く」と言ったのと同じ意味になります。
2つの虚数の掛け算は、正の数と負の数の掛け算に似ています。もし私が「2*3マイルで東に行く」と言ったら、それは「（今西を向いているように）全周回転して、2*3 = 6マイルに行く」ということを意味します。虚数も同じように、一部を回転させることができることを除いて、同じように動作します。私は"2*3iマイルで東に行く"と言う場合、それは私が"あなたが北を向いているまで回転して、その後、2*3 = 6マイルに行く"と言っていた場合と同じ意味です。
5 - 9 の引き算は、負の数が発明されるまでは不可能でした。負数が発明されてからは、負数の平方根を取ることは、虚数が発明されるまでは不可能でした。9の平方根は3ですが、-9の平方根は-3ではありません。 これは、-3 x -3 = +9であって、-9ではないからです。長い間、-9の平方根の答えはないかのように思われていました。
だからこそ、数学者たちは虚数のiを発明し、それを-1の平方根だと言ったのです。1の平方根は実数ではないので、この定義は、分数が4や10のような数を数えていない2/3のような数を作るように、新しいタイプの数を作ります。 時々、数学者は、非常に珍しい数を使うのは気楽そうに見えますが、iは3や145,379と同じくらい有効な数なので、虚数という名前はあなたをだますべきではありません。
科学や工学の多くの分野で、この数の用途が見出されています。電気技術者が電気回路を設計する際に、電気回路がどのように動作するかを理解するために i が必要になることがあります（電気技術者は電流の記号との混同を避けるために i の代わりに j を使用します）。量子物理学や高エネルギー物理学のような物理学の特定の分野では、他の正規の数と同じくらい頻繁にiを使用します。世界の多くの方程式は、iなしでは解くことができません。
虚数は、私たちがよく知っている数字と混ぜることができます。例えば、2のような実数を3iのような虚数に加えると、2+3iになります。このような混合数は複素数として知られています。
質問と回答
Q:虚数とは何ですか?
A:虚数とは、実数と虚数単位であるiの組み合わせで、iはi^2=-1として定義されます。
Q:虚数と負の実数とはどう違うのですか?
A:虚数は負の実数とは別に、正の実数の代わりに負の実数の平方根であると定義されている。これは実数ではありえないことで、自分自身を掛けて負の数になる実数は存在しないからです。
Q:「東へ-iマイル」と言うのはどういう意味ですか?
A:「東へ-iマイル」と言うときは、「南へ1マイル」と言ったときと同じ意味である。
Q:2つの虚数はどのように足すのですか?
A:2つの虚数を足すには、「東へ1マイル、北へ1マイル」と言えばよい。2つの虚数の掛け算は、正の数と負の数の掛け算に似ている。
Q:複素数とは何ですか?
A:複素数とは、2+3iのように実数と虚数の両方から構成される混合数のことです。実数成分と虚数成分を足すとできる。
Q:数学者はどのような分野で虚数単位の概念を使っているのでしょうか?
A:数学者は、電気工学、量子物理学、高エネルギー物理学など、科学や工学の多くの分野で虚数単位の概念を使用している。また、虚数単位がないと解けないような方程式でも使われます。
