反角柱（幾何学）｜構造・性質・例・応用

構造と基本的性質

底面がn角形の場合、この帯は2n個の三角形面からなる。2つの多角形の底面を合わせると、面の総数は2n+2である。代表的な組合せ論的な数は次のとおりである。

• 頂点：2n（各底面にn個）
• 辺：4n
• 面：2n+2（n角形2面と三角形2n面）

底面が正多角形で、側面の三角形が合同であるとき、反角柱は高い対称性をもつ。直反角柱とは、両底面の中心を通る軸がそれらの平面に垂直な、一般的な向きを指す。一様反角柱は、三角形が正三角形で底面が正多角形である反角柱であり、高い対称性をもつ無限族をなす。

例と特殊な場合

nが小さい場合には、よく知られた立体が得られる。n=3の反角柱は正八面体であり、2つの三角形の底面と6つの接続三角形から、8つの三角形面ができる。nを大きくすると、四角反角柱（n=4）、五角反角柱（n=5）などが得られる。反角柱は、側面が平行四辺形ではなく三角形である点で角柱と異なり、この違いが剛性と対称性の性質の差につながる。

歴史と応用

反角柱は古典および現代の多面体幾何学で研究され、一様多面体の分類にも現れる。また実用的な文脈にも見られる。化学における配位構造の一部は反角柱型と表現され、たとえば中心原子の周囲に配位子が配置する正方反角柱型の構造がある。さらに、ねじれた安定的な三角形の帯が有利となる建築や機械の設計にも用いられる。

区別と注目すべき事実

n角反角柱の双対多面体は、凧形の面をもつn角のトラペゾヘドロン（デルトヘドロンともいう）である。反角柱は、2つの底面を相対的に回転させるという単純な変更によって、角柱とは組合せ論的・計量的性質の異なる、別個の無限の立体族が生じることを示している。その対称性と分類については、多面体および立体幾何学の一般的な文献、一様多面体を幾何学で扱う概説、ならびに化学における反角柱型配位を扱う材料科学を含む専門的研究で詳しく調べることができる。