力積（物理学）：定義、運動量との関係、応用

定義と公式

瞬間的な数学的定義は、力が作用する時間区間についての I = ∫ F(t) dt である。力が一定の場合、これは I = F Δt となる。ニュートンの第二法則 F = dp/dt から、力積と運動量の関係 I = Δp が得られる。ここで p は運動量であり、質量が一定なら p = m v である。単位はニュートン秒（N·s）で、次元的には kg·m/s と等価である。

性質と例

力積は、ハンマーで打つように大きな力が短時間に加わる場合と、ゆっくり加速するロケットのように小さな力が長時間にわたり加わる場合の双方を扱う。衝突では、外部からの力積が無視できるとき、運動量保存則により力積が衝突後の速度を決定する。自動車のエアバッグやクラッシャブルゾーンは、同じ力積を与えながら力が作用する時間を長くして最大の力を小さくし、乗員の安全性を高める。力積の計算における時間の役割については、時間も参照。

歴史と理論的背景

力積の概念はニュートン力学と微分形 F = dp/dt から直接導かれる。この式の両辺を時間について積分すると、力積・運動量定理が得られる。歴史的に、力積は測定可能な力と作用時間を、それによって生じる運動の変化へ結び付ける実用的な方法を与えた。その数学的表現には積分演算子が用いられ、より広い運動量の概念と結び付いている。

性質と重要な区別

• ベクトル量：その方向は合力の方向と一致する。
• 保存則との関係：孤立系では内部力による力積は相殺され、全運動量は保存される。
• 力積と瞬間的な力：理想化された「力積」は、無限小の時間に無限大の力が作用するものとしてモデル化できる。この力積近似は、衝突や剛体モデルで有用である。
• 回転における対応量：トルクを時間について積分すると、角運動量の変化が生じる。

応用と測定

技術者や科学者は、防護具の設計、スポーツにおける衝撃の解析、ロケット燃焼の規模の設定、事故データの解釈において力積を計算する。ロケットでは全力積が推進剤の使用量と関係する。実際には、力センサーと時間サンプリングによって、または事象の前後の速度を観測して Δp を求めることによって、力積を測定できる。数学的手法の詳細については、力と力積の積分による扱いを参照。