形の法則（ジョージ・スペンサー＝ブラウン）：表示法・区別法と論理学・数学・哲学の概説
『形の法則』解説：ジョージ・スペンサー＝ブラウンの表示法・区別法で論理学・数学・哲学の核心と影響をわかりやすく紹介。
形の法則は、1969年にジョージ・スペンサー＝ブラウンによって出版された著作で、論理学、数学、哲学に関する独自の考察をまとめたものです。著者がこの書物で提示した体系は英語で "Laws of Form" と呼ばれ、しばしば「表示法」「区別法」、あるいは略して LOF と称されます。
形の法則の中心にあるのは「区別（distinction）」という概念と、それを表す単純な記号（スペンサー＝ブラウン自身は「印（mark）」と呼ぶ）を用いることで論理や算術的操作を再構成しようとする試みです。著者はもともと電子工学の分野での経験を持ち、回路やスイッチングの直感がこの記法や議論に影響を与えています。本書の数学的な中核は短い（約55ページ）の節に凝縮されており、その後に哲学的・解説的な文章や注が付されています。版を重ね、各国語に翻訳されてきたため絶版にはなっていません。
主要な考えと記法の概要
- 区別（distinction）：スペンサー＝ブラウンは「何かと何かでないものを分けること」が思考の原初であるとし、区別そのものを出発点に据えます。区別を作る行為が「意味」を生むという視点です。
- 印（mark）：区別を示す一つの基本記号を導入します。この記号だけで命題的操作やブール代数に相当する操作を表現できると主張します。
- 二つの基本法則：著者は印に関する二つの簡潔な等式（慣例的に「呼びの法則（Calling）」と「交差の法則（Crossing）」と呼ばれる）を示します。直感的には、隣接する印の統合や、入れ子になった印が消える（あるいは空白に還元される）といった簡潔な簡約規則です。
- 表示法（calculus of indications）：記号操作を体系化した計算法で、命題論理や一部の代数的構造と対応させることができます。スペンサー＝ブラウンはこれを出発点にしてより高次の理論的応用を論じます。
数学・論理学としての位置づけ
表面的には単純な記号系ですが、表示法はブール代数や命題論理と対応付けられうるため、論理の別表現として興味を引きました。一方で著者の記述は独特の直観的・哲学的な語り口が多く、厳密な公理化や標準的な形式主義に基づく展開を期待する数学者からは批判も受けました。実際、一部の主張や拡張は厳密な証明が不十分だと指摘されることがあります。
影響と受容
スペンサー＝ブラウンの考え方は、単に純粋数学の内部だけでなく、サイバネティクス、システム理論、認知科学、社会理論など広い分野に影響を与えました。たとえば「区別」という概念は社会学やシステム論に取り入れられ、観察者論や自己言及的システムの議論において参照されることがあります。著者自身は哲学者や論理学者の思想、特にルートヴィヒ・ウィトゲンシュタイン、R.D.レイング、チャールズ・サンダース・ペアース、バートランド・ラッセル、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドらの影響を受けていると記しています。
評価と論争点
- 支持者は、表示法が提示する「区別から出発する」視点は哲学的に新鮮であり、思考の基礎を再検討する契機を与えると評価します。
- 批判としては、文体が散文的で象徴的表現が多く、数学的厳密さや明確な定義が不十分な部分がある点が挙げられます。また、著者が哲学的・形而上学的展開に踏み込む箇所は解釈が分かれることが多いです。
- 一部では過度な一般化や誤用も見られ、原著の直感的な主張をそのまま他分野に持ち込む際には注意が必要です。
版・解説・さらなる読解
本書は初版以降、注解付きの版や解説書が出されてきました。短い数学部分に対して豊富な注釈や解説が付されることが多く、解釈の幅を狭めるための解説書や、逆に哲学的意味を拡張する評論も存在します。表示法をブール論理や関係代数と厳密に対応させようとする研究も続いています。
初学者に向けては、まずはスペンサー＝ブラウンの「印」と二つの基本法則の直感をつかみ、それを既存の論理体系（命題論理やブール代数）と比較しながら学ぶ方法が有効です。さらに哲学的な含意を考える際は、原文の直感的語り口と数学的厳密性のどちらに重きを置くかを明確にすると理解が進みます。
レセプション
1969年にホール・アース・カタログに掲載され、瞬く間にカルト・クラシックとなった「形の法則」。適応の微積分と一次代数は、心の基本的な活動、すなわち区別する、あるいは区別を引く能力について考えるための方法とみなすことができる。本書は、この能力こそが人間の認識や意識の基盤であると主張している。スペンサー・ブラウンによれば、一次代数学は、論理学、数学、言語哲学、そして心の哲学の間の新しいつながりを明らかにする。
数学的発想
ブール代数の基本的な2つのプリミティブ値を0と1とする。ブール代数の二項演算をABとする。(X)をXのブール補集合とすると、適応症の計算はブール演算を11=1、(1)=0という2つの方程式に還元したものに過ぎない。
一次代数は主にブール代数の表記を簡略化したものであるが、一点を除いては、ブール代数の表記を簡略化したものである。ブール代数では、()は定義されていない。()は「空」の補集合（「無」の補集合）である。一方、一次代数では()は定義されており、0か1のいずれかを表し、(())はもう一方の原始値を表し、白紙と同じものである。
AとBを任意の2つの初等代数の式とする。初等代数はA=Bの形の方程式で構成されており、これらの方程式はすべての学校で教えられている数代数の方程式と同じように扱われる。標準的な論理学の手法では、方程式を使うことはほとんどない。LoFでは、初等論理を初等代数で行う方が簡単であると主張している。特に、論理学でAがトートロジーであれば、A=()、A=()のどちらかが一次代数で成立する。
Laws of Formは、初等代数学について次の事実を証明している。
- A=BとA/=Bの両方を証明することはできない。したがって、一次代数は矛盾がない（整合的である）。
- A=BとA/=Bのどちらかがたまたま真であることを常に証明できる。(一次代数は完全である)
従って、初等代数はお行儀の良い数学である。LoFの哲学や認知科学が間違っていても、面白くなくても、役に立つことがある。
参考
- スペンサー・ブラウン、ジョージ、1997年（1969年）。形の法則.E. P. Dutton.
質問と回答
Q: 『Laws of Form』とは何ですか?
A: 『Laws of Form』は、1969年にジョージ・スペンサー＝ブラウンによって書かれた、論理学、数学、哲学に関する本です。
Q: この本の中で紹介されている数学の体系はどのようなものですか?
A: この本で紹介されている数学体系は、「適応の微積分」、「区別の微積分」、そしてしばしば「LOF」という名前で知られています。
Q: 『Laws of Form』はどのようにして生まれたのですか?
A: 『Laws of Form』は、著者の電子工学の仕事から生まれました。
Q: 『Laws of Form』は絶版になったことがあるのですか?
A:いいえ、『Laws of Form』が絶版になったことは一度もありません。
Q: この本の数学的な部分はどれくらいの長さですか?
A: この本の数学的な部分は55ページしかありません。
Q: スペンサー・ブラウンの哲学に影響を与えた哲学者たちは誰ですか?
A: スペンサー・ブラウンの哲学に影響を与えた哲学者は、ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタイン、R.D.レイング、チャールズ・サンダース・ペアース、バートランド・ラッセル、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドです。
Q: 『Laws of Form』は何版まで出版されたのですか?
A: 『Laws of Form』は、いくつかの版と翻訳で出版されています。
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