マクスウェルの方程式

1860年代、ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、荷電粒子が単位電荷あたりの電気力と磁力を発生させることを説明する方程式を発表した。この単位電荷あたりの力を「電界」と呼びます。粒子は静止していても動いていてもよい。これらの式とローレンツ力の式は、電界や磁界の中での古典的な粒子の運動を計算するのに必要なすべてを提供しています。

マクスウェルの方程式は、電荷や電流が電界や磁界を作ることを説明している。また、電場が磁場を発生させたり、逆に磁場が電場を発生させたりすることも記述されています。

1つ目の式では、電荷が作る電界を計算することができます。2つ目の式は、磁界を計算するためのものです。他の2つの式は、電界がその発生源の周りをどのように「循環」するかを表しています。磁界は電流と時間的に変化する電界の周りを「循環」します。アンペールの法則にマクスウェルの補正を加えたもので、電界は時間的に変化する磁界の周りを「循環」します、ファラデーの法則です。

古典形式のマクスウェル方程式

名前

微分形式

インテグラルフォーム

ガウスの法則。

∇・D = ρ {\\nabla ╲cdot ╲mathbf ╲D} = ╲rho }。 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }

∮ S D ⋅ d A = ∫ V ρ ⋅ d V {\displaystyle \ _{S}\mathbf {D} = ∫ V ρ ⋅ d VA} =\\\\\\\\\\\\\\\⁾⁾。 {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho \cdot dV}

磁気のガウスの法則
（磁気単極
子の不在）。

∇・B = {\\\\\\\\ } =00}。 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}

∮ S B ⋅ d A = {0\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\⁾⁾。\A} =0}となります。 {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}

ファラデーの誘導の法則。

∇×E = - ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla ୧⃛(๑⃙⃘⁼̴̀꒳⁼̴́๑⃙⃘)୨⃛} =-{\frac ୧⃛(๑⃙⃘⁼̴́๑⃙⃘)}{partial t}}。 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}

∮ C E ⋅ d l - ∮ C B × v ⋅ d l = - d d t ∫ S B ⋅ d Al} -\\\\\\\\\\\\\\\\\V} Ms.♪♪「d\\CDot d\\mathbf {A}}} {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} -\oint _{C}\mathbf {B} \times \mathbf {v} \cdot d{\mathbf {l} }=-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }

アンペールの法則
（マクスウェルの拡張）。

(∇)×H = J + ∂ D ∂ t (〃∇〃)+{frac {\\ mathbf {D}} }{\\ mathbf {J}}。}{partial t}}。 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}

∮ C H ⋅ d l = ∫ S J ⋅ d A + ∫ S ∂ D ∂ t ⋅ d A {\displaystyle ∮ C}\mathbf {H} ∮ C H ⋅ d l = ∫ S J ⋅ d A + ∫ S ∂ D ∂ t ⋅ d AL} =\\\\\\\A}を追加します。+int _{S}{\\ mathbf {D}.}{partial t}}\\\\\\} {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} }

以下の表は、各記号の意味とSI単位を示しています。

記号

意味

SI測定単位

E} {\displaystyle \mathbf {E} }

電界

ボルト/メートル

H} {\displaystyle \mathbf {H} }

磁界強度

アンペア・パー・メートル

D {displaystyle ̫͡˘ ̫͡˘ } D} {\displaystyle \mathbf {D} }

電気変位場

クーロン・パー・スクエア・メートル

B} {\displaystyle \mathbf {B} }

磁束密度は、
磁気誘導とも呼ばれる。

テスラ、または同等のもの。
 ウェーバー/平方メートル

  ρ(＾＾ )ノ {\displaystyle \ \rho \ }


物質中に結合している双極子電荷を除いた自由電荷密度のこと。

クーロン・パー・キュービック・メートル

J {displaystyle 屾屾屾{J}}。} {\displaystyle \mathbf {J} }

自由電流密度。
材料に束縛された分極電流や磁化電流はカウントしない。

アンペア・パー・スクエア・メートル

d A {displaystyle d'mathbf {A}} 。} {\displaystyle d\mathbf {A} }

表面積Aの微分ベクトル要素で、
大きさが非常に小さく
、方向が表面S
に垂直なもの

平方メートル

d V {displaystyle dV\}。 {\displaystyle dV\ }

表面Sで囲まれた体積Vの微分要素

立方メートル

d l {displaystyle d'mathbf {l}}。} {\displaystyle d\mathbf {l} }

輪郭Cの接線方向の経路長の微分ベクトル要素 c

メートル

v {\displaystyle \mathbf {v} }

線分の瞬間的な速度 d l (i.e.......................l)上で{\displaystyle d\mathbf {l} }定義した（動く回路の場合）。

メートル／秒

そして

(∇)・{\\ cdot }{\displaystyle \nabla \cdot }は、ダイバージェンス演算子（SI単位：1 per metre）です。

∇ × {\displaystyle \nabla \times } {\displaystyle \nabla \times }is the curl operator (SI unit: 1 per metre).

方程式の意味

電荷密度と電界

∇・D = ρ {\\nabla ╲cdot ╲mathbf ╲D} = ╲rho } 。{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho },

ここで、ρは物質中に結合している双極子電荷を除いた自由電荷密度（単位はC3/m）{\displaystyle {\rho }}であり、Dは電界（単位はC/m）である。{\displaystyle \mathbf {D} }は電界変位場（単位はC/2m）である。）この式は、真空中の動かない電荷に対するクーロンの法則のようなものである。

次の積分形式（発散定理による）は、ガウスの法則としても知られていますが、同じことを言っています。

∮ A D ⋅ d A = Q enclosed {\\_{A}\mathbf {D}.\A} =Q_{text{enclosed}}} {\displaystyle \oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =Q_{\text{enclosed}}}

d A {displaystyle d\mathbf {A}} は，閉曲面A上の微分方程式の面積である．は閉じた表面A上の微分方程式の面積{\displaystyle d\mathbf {A} }であり、表面の法線が外に向いているのが方向であり、Q enclosed {\\{enclosed}}{\displaystyle Q_{\text{enclosed}}}は表面の内側にある自由電荷である。

線状物質では、Dは電界Eに直結する。は{\displaystyle \mathbf {D} }、電界Eに直接関係する。誘電率と呼ばれる定数ε{\displaystyle \mathbf {E} }で表される。{\displaystyle \varepsilon }(この定数は、物質によって異なる）。

D = εE}{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }.

電界があまり強くなければ、直線的な物質を装うことができます。

自由空間の誘電率は、ε{\0 vapepsilon _{0}}と呼ばれる。{\displaystyle \varepsilon _{0}}と呼ばれ、この式で用いられる。

∇・E = ρ t ε 0{\\\ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{t}}{\varepsilon _{0}}}}

ここで、Eは再び電界（単位はV/m）であり、ρtは全電荷密度（束縛電荷を含む）である。{\displaystyle \mathbf {E} }は再び電界（単位：V/m）、ρ t{\displaystyle \rho _{t}}は全電荷密度（束縛電荷を含む）、ε（0約8.854pF/m）は自由空間の誘電率である。{\displaystyle \varepsilon _{0}}(約8.854pF/m）は自由空間の誘電率である。εはε0・ε r {\\varepsilon _{0}\\varepsilon _{r}}{\displaystyle \varepsilon }と書くこともできる。{\displaystyle \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}}.ここで、ε rは、自由空間の誘電率と比較したときの物質の誘電率{\displaystyle \varepsilon _{r}}である。これを比誘電率または誘電体定数という。

ポアソン方程式の項も参照。

磁界の構造

∇・B = {\\\\\\\\ } =00}。 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}

B {displaystyle ˶ˆ꒳ˆ˵}は、磁束密度（単位はテスラ、T）であり、磁気誘導とも呼ばれる。{\displaystyle \mathbf {B} }は磁束密度（単位：テスラ、T）で、磁気誘導とも呼ばれる。

この次の積分形も同じことを言っています。

∮ A B ⋅ d A = {\\0 A}\mathbf {B}}。\♪♪～ {\displaystyle \oint _{A}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}

d Aの面積は、A面上の微分方程式の面積である。の面積は、表面A{\\}上の微分正方形の面積{\displaystyle A}{\displaystyle d\mathbf {A} }である。d A {displaystyle d\ mathbf {A}} の方向は、表面の外側を指す表面法線である。の方向は，A {displaystyle A}{\displaystyle A} の表面上で外向きの表面法線{\displaystyle d\mathbf {A} }である．

この式が成り立つのは、積分が閉曲面上で行われる場合のみです。この式は、すべての体積において、入ってくる磁力線の和と出ていく磁力線の和が等しいことを示しています。これは、磁力線が閉じたループでなければならないことを意味します。別の言い方をすると、磁力線はどこかから始まってはいけないということです。これは数学的な言い方をすると"磁気単極子は存在しない "ということです。

磁束と電界の変化

∇×E = - ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla ୧⃛(๑⃙⃘⁼̴̀꒳⁼̴́๑⃙⃘)୨⃛} =-{\frac ୧⃛(๑⃙⃘⁼̴́๑⃙⃘)}{partial t}}。 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}

この次の積分形も同じことを言っています。

∮ s E ⋅ d s = - d Φ B d t {\displaystyle ″Point _{s}\mathbf {E}″ ″cdot d\mathbf {s} =-{\frac} {dPhi _{mathbf {B}}}。d\\\\\\\\\\\\\\\\\}}{dt}}。 {\displaystyle \oint _{s}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d\Phi _{\mathbf {B} }}{dt}}}

ここで、ΦB＝∫A B・d A {\Phi _{\mathbf {B}}。}=int _{A}\mathbf {B}D\\Mathbf {A}} {\displaystyle \Phi _{\mathbf {B} }=\int _{A}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }

これがシンボルの意味です。

ΦBは、第2式が記述する領域Aを通過する磁束です。

Eは、磁束が引き起こす電界。

sは、電流が誘導される閉ざされた経路で、例えば電線などがある。

vは線路要素の瞬間的な速度（動く回路の場合）。

起電力はこの積分の値に等しい。この記号を起電力に使うこともある。E (イー)\mathcal{E}という記号を使うことがあるが、前に使った誘電率の記号と混同しないように。

この法則は、ファラデーの電磁誘導の法則のようなものです。

教科書によっては、積分形式の右手の記号を、磁束の微分値の前にN（NはAの端にあるワイヤーの巻き数）を付けて表示しています。NはAを計算する際に気にすることができますが（複数のワイヤーコイルがあるということは、磁束が通る表面が複数あるということです）、これは工学的な詳細であるため、ここでは省略しています。

負の記号は、エネルギーを保存するために必要です。あまりにも重要なので、レンツの法則という名前がついているほどです。

この式は、電界と磁界がどのように関係しているかを示すものです。例えば、電動機や発電機の仕組みを説明する式です。モーターや発電機では、界磁回路に固定された電界があり、それが磁界を引き起こします。これを固定励磁といいます。変化する電圧は、電機子回路を横切って測定されます。マクスウェルの方程式は、右巻きの座標系で使用されます。左巻きの座標系で使用するには、方程式を変えずに、磁場の極性を逆にしなければならない（これは間違いではないが、通常はこのようにしないので混乱してしまう）。

磁界の源

(∇)×H = J + ∂ D ∂ t (〃∇〃)+{frac {\\ mathbf {D}} }{\\ mathbf {J}}。}{partial t}}。 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}

Hは磁束Bを透磁率と呼ばれる定数μで割って得られる磁界の強さ（単位はA/m）で、Jは電流密度で、次のように定義されます。

J = ∫ρqvdA

vはドリフト速度と呼ばれるベクトル場である。スカラー関数ρqで記述された密度を持つ電荷キャリアの速度を表している。

自由空間では、透磁率μは自由空間の透磁率μ0であり、定義上はちょうど4π×10−7W/A・mとなります。また、誘電率は、自由空間の誘電率ε0である。 つまり、自由空間では、式のようになる。

∇ × B = μ  J 0+ μ  ε00  ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}+%mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\\\ mathbf {E}}。}{partial t}}。 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}

次のインテグラルフォームにも同じことが書いてある。

∮ s B ⋅ d s = μ I0 encircled + μ ε00 ∫ A ∂ E ∂ t ⋅ d A {\displaystyle ∮ _{s}\mathbf {B}.cdot d\\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\text{encircled}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\int _{A}{\frac {\mathbf {E} }{\mathbf {E}}。}{partial t}}cdot d\\athbf {A}。} {\displaystyle \oint _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\text{encircled}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\int _{A}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} }

sは開放面Aのエッジ（ここでは、曲線sをエッジとする面であれば何でもよい）、Iencircledは曲線sで囲まれた電流（任意の面を通過する電流は、次式で定義される。Ithrough = ∫AAJ-dA）。

電束密度があまり速く変化しない場合は、右辺の第2項（変位磁束）は非常に小さいので省くことができ、アンペールの法則と同じ式になります。

コバリアント・フォーミュレーション

共変電場ベクトルには電場と磁場が含まれるため、共変マクスウェル方程式は2つしかありません。

数学的注意：このセクションでは、抽象的なインデックス表記を使用します。

特殊相対性理論では、真空中のマクスウェル方程式は、4ベクトルとテンソルを用いて「顕在共変」の形で書かれます。これは、（真空中の）マクスウェル方程式が、どの慣性座標系でも同じ形をとるという事実をより明確に示すために行われたものです。これが "顕在共変 "形式です。

J b = ∂ a F a b {\displaystyle J^{b}=\partial _{a}F^{ab}\,\!}{\displaystyle J^{b}=\partial _{a}F^{ab}\,\!},

そして

0= ∂ c F a b + ∂ b F c a + ∂ a F b c {\displaystyle 0=\partial _{c}F_{ab}+\partial _{b}F_{ca}+\partial _{a}F_{bc}}}。 {\displaystyle 0=\partial _{c}F_{ab}+\partial _{b}F_{ca}+\partial _{a}F_{bc}}

2つ目の式は、同じです。

0= ε d a b c ∂ a F b c {\displaystyle 0=\varepsilon _{dabc}\partial ^{a}F^{bc}\,\!} {\displaystyle 0=\varepsilon _{dabc}\partial ^{a}F^{bc}\,\!}

ここで、J a {displaystyle \\{a}}{\displaystyle \,J^{a}}は4電流、F a b {displaystyle \\F^{{\displaystyle \,F^{ab}}ab}}は場の強さのテンソル（4×4の行列として書かれる）、ε a b c d {displaystyle \\ヴァレプシロン_{abcd}}{\displaystyle \,\varepsilon _{abcd}}はレヴィ・シヴィタ記号である。また、∂ a = ( ∂ / ∂ c t , ∇ ) {\displaystyle \partial _{a}=(\partial /\partial ct,\nabla )}{\displaystyle \partial _{a}=(\partial /\partial ct,\nabla )}は4勾配である（従って、∂ a ∂ a {\displaystyle \partial _{a}\partial ^{{\displaystyle \partial _{a}\partial ^{a}}a}}はダレンバートン演算子である）。(第一式のa {displaystyle a}aは、アインシュタイン記法により、暗黙のうちに和がとられている)。第1テンソル方程式は、2つの非同質なマクスウェル方程式と同じことを言っている。ガウスの法則とアンペールの法則にマクスウェルの補正を加えたものです。2つ目のテンソル方程式は、他の2つの方程式（同質方程式）と同じことを言っています。ファラデーの誘導の法則と、磁気単極子が存在しないことです。

J a = ( c ρ , J → ) {displaystyle J^{a}=\\,(c\ rho ,{vec {J}})}{displaystyle J^{a}}は、より明確にこの式で表さ{\displaystyle \,J^{a}}れる。J a = ( c ρ , J → ) {\displaystyle J^{a}=\,(c\rho ,{\vec {J}})}。{\displaystyle J^{a}=\,(c\rho ,{\vec {J}})}(ここで、電荷密度ρと電流密度J → {\\vec {J}}}{\displaystyle {\vec {J}}}からJ a {\,J{\displaystyle \,J^{a}}^{a}}}を得る。4-電流は連続の方程式の解である。

J a , a = { {0displaystyle J^{a}{}_{,a}}\,=0}。 {\displaystyle J^{a}{}_{,a}\,=0}

4ポテンシャルの観点から、A a = ( ϕ , A → c ) {˶ˆ꒳ˆ˵ ) { A^{a}=\left(˶ˆ꒳ˆ˵ ){\displaystyle A^{a}=\left(\phi ,{\vec {A}}c\right)}ここで、φは電気ポテンシャル、A→{\\{A}}{\displaystyle {\vec {A}}}はローレンツゲージにおける磁気ベクトルポテンシャルである( ∂ a A a = ){\0displaystyle ˶left(˶ˆ꒳ˆ˵ ) } 。{\displaystyle \left(\partial _{a}A^{a}=0\right)}であり、Fは次のように書ける。

F a b = ∂ b A a - ∂ a A b {\displaystyle F^{ab}=\partial ^{b}A^{a}-\partial ^{a}A^{b}\,\!} {\displaystyle F^{ab}=\partial ^{b}A^{a}-\partial ^{a}A^{b}\,\!}

となり、4×4行列のランク2テンソルになります。

F a b 0= ( - E x c - E y c - E z c E x c0 - B z B y E y c B z 0- B x E z c - B y B x 0) .{displaystyle F^{ab}=left({begin{matrix}0&-{{frac {E_{x}}{c}}&-{frac {E_{y}}{c}}&-{{frac {E_{z}}{c}}}&{frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right).} {\displaystyle F^{ab}=\left({\begin{matrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right).}

電界と磁界が1つのテンソルになっているということは、相対性理論では、電界と磁界は同じものの別の部分であり、参照するフレームを変えると、あるフレームでは電界に見えても、別のフレームでは磁界に見えたり、逆になったりするということです。

マクスウェル方程式のテンソル形式を用いると、最初の式は次のようになります。

◻︎F a b = {\\0 F^{ab}=0}{\displaystyle \Box F^{ab}=0}（四電位と四電流のd'Alembertianの関係を、旧来のベクトル演算子表記で表したものは、電磁四電位を参照）。

これらのテンソルや4ベクトルは、著者によって符号の使い方が異なる場合があります（ただし、意味は変わりません）。

F a b {\\{ab}}{\displaystyle \,F^{ab}}とF a b {\\{ab}}{\displaystyle \,F_{ab}}は同じものではなく、ミンコフスキー計量テンソルη {\\{ab}}によって関連している{\displaystyle \eta }：F a b = η a c η b d F c d {\\F_{ab}=\\{ac}eta _{bd}F^{cd}}}。{\displaystyle F_{ab}=\,\eta _{ac}\eta _{bd}F^{cd}}.これはFのいくつかの成分の符号を変えるもので、一般相対性理論ではもっと複雑なメトリックの二重性が見られる。

質問と回答

Q: マックスウェル方程式は何を記述するのですか?


A: マクスウェル方程式は、電荷と電流がどのように電界と磁界を作り出すかを記述しています。

Q: 電場はどのようにして磁場を発生させるのですか?


A: マクスウェル方程式は、電界が磁界を発生させることができる方法を記述しています。

Q: マクスウェルの方程式は誰が開発し、いつ発表されたのですか?


A:マクスウェル方程式は、ジェームズ・クラーク・マクスウェルによって開発され、1860年代に発表されました。

Q: 磁場とは何ですか?


A: 電界とは、荷電粒子によって発生する単位電荷あたりの力のことです。

Q: 電界や磁界の中での粒子の運動を計算するために方程式を使うことはできますか?


A: はい、ローレンツ力の式と合わせて、電界や磁界中の古典的な粒子の運動を計算するために使用できます。

Q: マックスウェル方程式の第1方程式は何を計算できるのですか?


A: 最初の方程式は、電荷によって生じる電界を計算することができます。

Q: マクスウェル方程式の他の2つの方程式は何を記述するために使われるのですか?


A: 他の2つの方程式は、場がその源の周りをどのように「循環」するかを記述しています。磁場は電流や時間的に変化する電場の周りを「循環」し、電場は時間的に変化する磁場の周りを「循環」します。

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