区分的関数：定義、表記法、境界での性質と用途

定義と表記法

区分的関数を指定する際、数学者は通常、中括弧を用いて複数の行を並べ、各行に式とその条件を記す。たとえば、
f(x) = { 2x　x > 0 のとき； x − 1　x ≤ 0 のとき }
と書けば、正の x に対しては f が 2x に等しく、それ以外では x−1 に等しいことを示す。条件は通常、不等式、区間表記、または論理結合子で表される。同値な記述として、指示関数または階段関数を使い、複数の式を一つの式にまとめることもできる。

境界における性質と分類

定義する各部分が接する点での挙動は重要である。区分的関数が境界で連続か不連続かは、左右からの極限が定められた値と一致するかどうかに依存する。微分可能性にはさらに強い条件が必要であり、区分的関数が連続であっても、角や尖点によって接合点では微分不可能になることがある。各部分が多項式である場合は区分的多項式関数、各部分が線形である場合は区分的線形関数と呼ばれることが多い。区分的連続および区分的滑らかという用語は、各部分における正則性によって関数を分類する。

代表例と用途

よく知られた関数の多くは、自然に区分的に定義される。代表例には、絶対値関数、床関数（最大整数関数）、符号関数、およびスイッチをモデル化するための階段関数がある。区分的定義は、微積分学、数値計算法、信号処理、コンピュータグラフィックス（スプライン）、さらに異なる状態領域で異なる法則に従う工学モデルに現れる。

実用上の注意と区別

区分的関数を扱う際には、各部分の定義域を明確に示し、境界点をどのように割り当てるかを決める必要がある。計算では、区分的定義は条件文として実装される。解析では、極限、連続性、微分可能性に関する例や反例を構成するために用いられる。境界付近の局所的な挙動を理解することは、区分的に定義された関数を積分、微分、または近似するうえで、しばしば鍵となる。